Hausdorff空間のコンパクト部分集合は閉集合である

 
Hausdorff空間のコンパクト部分集合は閉集合である
 
$${X}$$ をHausdorff空間、$${K}$$ をコンパクトな$${X}$$ の部分集合とする。$${K}$$ が閉集合であることを示したい。
$${x\notin K}$$とする。任意の$${y\in K}$$に対して、$${x}$$の開近傍$${V_{x}^{y}}$$と$${y}$$ の開近傍$${{{U}_{y}}}$$ で$${V_{x}^{y}\cap {{U}_{y}}=\phi }$$ となるものを選択する。$${\bigcup\nolimits_{y\in K}{{{U}_{y}}}}$$ はコンパクト集合$${K}$$の開被覆であるから、そこから有限個の$${{{U}_{{{y}_{1}}}},{{U}_{{{y}_{2}}}}\cdots ,{{U}_{{{y}_{n}}}}}$$ を選んで$${\bigcup\limits_{k=1}^{n}{{{U}_{{{y}_{k}}}}}\supset K}$$ とできる。このとき、$${W=\bigcap\limits_{k=1}^{n}{V_{x}^{{{y}_{k}}}}}$$ は$${x}$$ を含む開集合で、
$${W\cap K\subset W\cap \left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}{{{U}_{{{y}_{k}}}}} \right)=\phi }$$。したがって$${W\cap K=\phi }$$となり$${x\notin \bar{K}}$$ を意味している。

いままでの議論をみなおすと、
$${x\notin K}$$ とすると$${x\notin \bar{K}}$$がいえた。
対偶をとると$${x\in \bar{K}\Rightarrow x\in K}$$。
これからただちに、
$${K=\bar{K}}$$すなわち、$${K}$$ は閉集合であることがわかる。

chatGPTの答え

これだけでわかるのだろうか？

ところで、良さそうな数式エディターがでた