Herglotzの定理

Herglotzの定理
 
$${\mathbb{D}}$$を単位円$${\left| z \right|<1}$$ とする。
$${z=r{{e}^{i\varphi }}}$$,$${0\le r<1}$$,$${0\le \varphi \le 2\pi }$$とおく。ただし$${r=0}$$ のときは$${\varphi }$$ は定義しない。
 
定理：$${\mathbb{D}}$$で正則な関数$${f\left( z \right)}$$ が非負の実数部分$${\Re f\ge 0}$$ を持つための必要十分条件は、$${\left| z \right|<1}$$で
$${f\left( z \right)=i\beta +\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{{{e}^{it}}+z}{{{e}^{it}}-z}d\sigma \left( t \right)}}$$
と書けることである。ただし、$${\beta }$$ は実数定数、$${\sigma \left( t \right)}$$ は非減少関数である。
 
注意：$${f\left( z \right)=c+2{{c}_{-1}}z+2{{c}_{-2}}{{z}^{2}}+\cdots }$$ とマクロリン展開してやる。他方、$${f\left( z \right)=i\beta +\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{{{e}^{it}}+z}{{{e}^{it}}-z}d\sigma \left( t \right)}}$$の被積分関数を$${\frac{{{e}^{it}}+z}{{{e}^{it}}-z}=1+2{{e}^{-it}}z+2{{\left( {{e}^{-it}}z \right)}^{3}}+2{{\left( {{e}^{-it}}z \right)}^{2}}+\cdots }$$のように展開して代入、係数を比較すると$${\frac{c+\bar{c}}{2}={{c}_{0}}}$$として$${\beta}$$がきえてしまい
$${{{c}_{0}}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\sigma \left( t \right)}}$$ 、$${{{c}_{-k}}=\int\limits_{0}^{2\pi }{{{e}^{-ikt}}d\sigma \left( t \right)}}$$
となり、$${\sigma \left( t \right)}$$ は３角モーメント問題の解を与えていることがわかる。
定理の証明：十分条件
$${f\left( z \right)=i\beta +\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{{{e}^{it}}+z}{{{e}^{it}}-z}d\sigma \left( t \right)}}$$を仮定する。
$${\Re \frac{{{e}^{it}}+z}{{{e}^{it}}-z}=\Re \frac{{{e}^{it}}+r{{e}^{i\varphi }}}{{{e}^{it}}-r{{e}^{i\varphi }}}=\frac{1-{{r}^{2}}}{1-2r\cos \left( t-\varphi \right)+{{r}^{2}}}\ge 0}$$
であるから、$${\Re f\ge 0}$$ がいえる。
必要条件：コーシの積分定理より
$${f\left( z \right)=i\beta +\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{R{{e}^{it}}+z}{R{{e}^{it}}-z}u\left( {{\operatorname{Re}}^{it}} \right)dt}}$$
と書けることが知られている（下の補足参照）。ここで、$${u\left( r{{e}^{it}} \right)=\frac{f\left( r{{e}^{it}} \right)+\overline{f\left( r{{e}^{it}} \right)}}{2}}$$である。したがって。
$${\Re f\left( 0 \right)=\int\limits_{0}^{2\pi }{u\left( {{\operatorname{Re}}^{it}} \right)dt}}$$。
$${{{\sigma }_{R}}\left( t \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{t}{u\left( {{\operatorname{Re}}^{is}} \right)}ds}$$ とおいてやると
$${f\left( z \right)=i\beta +\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{{{e}^{it}}+z}{{{e}^{it}}-z}d{{\sigma }_{R}} \left( t \right)}}$$
となる。$${f\left( z \right)}$$ が非負の実数部分$${\Re f\ge 0}$$ を持つという条件から
$${u\left( R{{e}^{it}} \right)=\frac{f\left( R{{e}^{it}} \right)+\overline{f\left( R{{e}^{it}} \right)}}{2}\ge 0}$$
となり$${{{\sigma }_{R}}\left( t \right)}$$ は非減少関数で、$${0\le {{\sigma }_{R}}\left( t \right)\le {{\sigma }_{R}}\left( 2\pi \right)=\Re f\left( 0 \right)}$$ を満たしている。この不等式によって$${{{\sigma }_{R}}\left( t \right)}$$ は$${R}$$ について一様に有界であることがわかるからHellyの第１定理より$${\sigma \left( t \right)}$$ が存在して、$${{{R}_{1}}<{{R}_{2}}<{{R}_{3}}<\cdots }$$ で、$${{{R}_{j}}\to 1}$$ のとき、$${\underset{j\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\sigma }_{{{R}_{j}}}}\left( t \right)=\sigma \left( t \right)}$$ となる。そこでHellyの第２定理をつかうと
$${f\left( z \right)=i\beta +\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{{{e}^{it}}+z}{{{e}^{it}}-z}d\sigma \left( t \right)}}$$
となる。
 
 

補足：正則関数$${f\left( z \right)=u\left( z \right)+iv\left( z \right)}$$を実部$${u}$$ と虚部$${v}$$ に分けると$${u,v}$$ は調和関数である。$${z=r{{e}^{i\theta }}}$$ とおくとき、$${0\le r\le R}$$ として
$${u\left( z \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{u\left( {{\operatorname{Re}}^{i\varphi }} \right)\frac{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}{{{R}^{2}}-2Rr\cos \left( \varphi -\theta \right)+{{r}^{2}}}}d\varphi }$$
と書ける。これは、原点を中心とする半径$${R}$$の円周上で$${u\left( {{R}^{i\varphi }} \right)}$$ を境界値とするDirichlet問題の解となるポアソン核による表現である。
$${\Re \frac{{{\operatorname{Re}}^{i\varphi }}-z}{{{\operatorname{Re}}^{i\varphi }}+z}=\frac{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}{{{R}^{2}}-2Rr\cos \left( \varphi -\theta \right)+{{r}^{2}}}}$$
であるから、
$${g\left( z \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{u\left( {{\operatorname{Re}}^{i\varphi }} \right)}\frac{{{\operatorname{Re}}^{i\varphi }}-z}{{{\operatorname{Re}}^{i\varphi }}+z}d\varphi }$$
とおくと、 $${\Re f=u}$$ としたのでこの積分であらわされた$${g\left( z \right)}$$ は$${\Re f\left( z \right)=\Re g\left( z \right)}$$をみたす正則関数である。Cauchy-Riemann の微分方程式は、実部$${u}$$ と虚部$${v}$$の関係を示しており、そのことから$${u\left( z \right)}$$をあたえれば$${v\left( z \right)}$$ は定数の違いを除いて一意に定まることが知られている。最初に与えられた正測関数$${f\left( z \right)}$$は
$${f\left( z \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{u\left( {{\operatorname{Re}}^{i\varphi }} \right)}\frac{{{\operatorname{Re}}^{i\varphi }}-z}{{{\operatorname{Re}}^{i\varphi }}+z}d\varphi +const}$$
である。ここで、$${z=0}$$ とすると、調和関数の平均値の定理によって
$${u\left( 0 \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{u\left( {{\operatorname{Re}}^{i\varphi }} \right)}d\varphi }$$
であるから
$${f\left( 0 \right)=u\left( 0 \right)+const}$$
他方$${f\left( 0 \right)=u\left( 0 \right)+iv\left( 0 \right)}$$でもあったから$${const=iv\left( 0 \right)}$$
結局
$${f\left( z \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{u\left( {{\operatorname{Re}}^{i\varphi }} \right)}\frac{{{\operatorname{Re}}^{i\varphi }}-z}{{{\operatorname{Re}}^{i\varphi }}+z}d\varphi +iv\left( 0 \right)}$$
と表されることがわかる。