素数の逆数和の発散について
素数の逆数和の発散について
素数を小さいほうからならべた$${2,3,5,\cdots }$$ をあらためて$${{{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}},\cdots }$$ と書く。このとき、$${{{S}_{N}}=\sum\limits_{k=1}^{N}{\frac{1}{{{p}_{k}}}}}$$ は、正項級数であるから$${N\to \infty }$$ のとき収束するか$${\infty }$$に発散するかのいずれかである。実際$${{{S}_{N}}\to {{\infty }^{{}}}}$$ である。これを背理法で証明しよう。 $${{{S}_{N}}\to S}$$となる有限値$${S}$$があることを仮定して矛盾をいう。$${S<+\infty }$$ より、
$${x=\sum\limits_{n=k+1}^{\infty }{\frac{1}{{{p}_{n}}}<1}}$$ となる自然数$${k}$$が存在する。 $${G=x+{{x}^{2}}+\cdots =\frac{x}{1-x}<\infty }$$ となる。ここで、$${F=\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\frac{1}{1+j\left( {{p}_{1}}{{p}_{2}}\cdots {{p}_{k}} \right)}}}$$ を考えると、分母$${1+j\left( {{p}_{1}}{{p}_{2}}\cdots {{p}_{k}} \right)}$$ は$${{{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}},\cdots }$$$${{{p}_{k}}}$$ のいずれでもわれない、したがって、
$${1+j\left( {{p}_{1}}{{p}_{2}}\cdots {{p}_{k}} \right)}$$の素因数は$${{{p}_{n}}}$$ , $${n\ge k+1}$$から成っている。そして、$${1+j\left( {{p}_{1}}{{p}_{2}}\cdots {{p}_{k}} \right)}$$は、異なる$${j}$$について同じものはでてこない。
したがって$${F}$$ は$${G}$$ の一部であるから
$${F< G< \infty }$$が成り立つはずである。 ところが、$${F=\infty }$$を示すことができる。それは矛盾である。
不等式
$${\frac{1}{1+j\left( {{p}_{1}}{{p}_{2}}\cdots {{p}_{k}} \right)}>\frac{1}{\left( {{p}_{1}}{{p}_{2}}\cdots {{p}_{k}} \right)}\frac{1}{j+1}}$$
において$${j}$$ について辺々加えると
$${F=\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\frac{1}{1+j\left( {{p}_{1}}{{p}_{2}}\cdots {{p}_{k}} \right)}}>\frac{1}{\left( {{p}_{1}}{{p}_{2}}\cdots {{p}_{k}} \right)}\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\frac{1}{j+1}}}$$
が得られる。ところが、$${\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\frac{1}{j+1}}=\infty }$$であるから、$${F=\infty }$$となってしまう。
Weierstrass は$${\left[ 0,1 \right]}$$ 上の任意の連続関数は多項式によって一様に近似されることを示した。これを関数解析の言葉で言えば、多項式全体は、$${\left[ 0,1 \right]}$$上の連続な複素数値関数で作るBanach 空間$${C\left[ 0,1 \right]}$$で稠密であるということになる。ここで、ノルムは$${\left\| f \right\|=\sup \left\{ \left| f\left( x \right) \right|:x\in \left[ 0,1 \right] \right\}}$$ がとられる。そこでまた、次のような問題が提起される。 自然数の部分集合$${A}$$をどのように選べば、$${\left\{ {{x}^{n}}:n\in A\cup \left\{ 1 \right\} \right\}}$$ は$${C\left[ 0,1 \right]}$$で稠密になるか。これに対してMüntz-Szaszの定理がある。
Müntz-Szaszの定理:
もし、$${\left\{ {{\lambda }_{n}} \right\}}$$ が$${{{\lambda }_{n}}>\varepsilon >0}$$となる数列で、$${\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{\lambda }_{n}}}}}$$が発散するとき、$${\left\{ {{x}^{{{\lambda }_{n}}}} \right\}\cup \left\{ 1 \right\}}$$
は$${C\left[ 0,1 \right]}$$で稠密である。
この定理を使えば、
$${\left[ 0,1 \right]}$$上の任意の連続関数は素数のべき乗から作られる多項式（定数項をふくむ）で一様に近似される
It is true that a mathematician, who is not somewhat of a poet, will never be a perfect mathematician.