単位円盤上のNevanlinna クラスとHardyクラス
単位円盤上のNevanlinna クラスとHardyクラス
単位円盤を$${\mathbb{D}}$$その境界を$${\mathbb{T}\equiv \partial \mathbb{D}}$$とおく。$${{{H}^{\infty }}\left( \mathbb{D} \right)}$$を$${\mathbb{D}}$$上の有界な正則関数とする。Nevanlinnaclass（ネバンリンナクラス）は$${\mathcal{N}=\left\{ \varphi \in \text{Hol}\left( \mathbb{D} \right):\varphi =\frac{f}{g},f,g\in {{H}^{\infty }}\left( \mathbb{D} \right) \right\}}$$
と定義される。
$${\varphi \in \mathcal{N}}$$はつぎのような特徴を持っている
$${{{\varphi }^{*}}\left( \zeta \right)=\underset{r\to 1}{\mathop{\lim }}\,\varphi \left( r\zeta \right)}$$
がほとんどすべての$${\zeta \in \mathbb{T}}$$にたいして存在する。
$${\log \left| {{\varphi }^{*}} \right|\in {{L}^{1}}\left( \mathbb{T} \right)}$$
が成り立つ。
$${\varphi =\frac{{{e}^{i\gamma }}{{B}_{\varphi }}{{S}_{{{\nu }_{1}}}}{{O}_{\varphi }}}{{{S}_{{{\nu }_{2}}}}}}$$
という分解できる。ここで、
$${{{e}^{i\gamma }}\in \mathbb{T}}$$、$${{{B}_{\varphi }}}$$ は$${\varphi }$$のゼロ点からつくるBlaschke積、$${{{S}_{{{\nu }_{1}}}}}$$ 、$${{{S}_{{{\nu }_{2}}}}}$$は特異内関数
$${{{O}_{\varphi }}}$$ は$${\varphi }$$の外関数である。Blaschke積は$${z\in \mathbb{D}}$$にたいして、$${{{B}_{\varphi }}\left( z \right)={{z}^{k}}\prod\limits_{\alpha \in \Lambda }{\frac{\alpha }{\left| \alpha \right|}}\frac{\alpha -z}{1-\bar{\alpha }z}}$$
と書けるものである。ここで、$${\Lambda }$$ は$${z=0}$$以外の$${\varphi }$$のゼロ点の集合で、$${\sum\nolimits_{\alpha \in \Lambda }{\left( 1-\left| \alpha \right| \right)}<\infty }$$
をみたす。また特異内関数は
$${{{S}_{\nu }}\left( z \right)=\exp \left( \int\limits_{\mathbb{T}}{\frac{z+\zeta }{z-\zeta }d\nu \left( \zeta \right)} \right)}$$
とかける。ここで、$${\nu }$$は$${\mathbb{T}}$$上の有限で正値特異測度である。また、$${\varphi }$$の外部は
$${{{O}_{\varphi }}\left( z \right)=\exp \left( \int\limits_{\mathbb{T}}{\frac{z+\zeta }{z-\zeta }\log \left| {{\varphi }^{*}} \right|\left| d\zeta \right|} \right)}$$
であたえられる。ネバリンナクラスの部分クラスとして、スミルノフクラスがある。
$${{{\mathcal{N}}^{+}}=\left\{ \varphi \in \text{Hol}\left( \mathbb{D} \right):\varphi =\frac{f}{g},f,g\in {{H}^{\infty }}\left( \mathbb{D} \right),g\,\,is\,\,outer \right\}}$$
最大値の原理をつかうことにより、
$${{\varphi \in \mathcal{N}}^{+}}$$でかつ$${{{\varphi }^{*}}\in {{L}^{p}}\left( \mathbb{T} \right)}$$のときは
$${\varphi }$$はハーディクラス$${{{H}^{p}}\left( \mathbb{D} \right)}$$ 、$${1\le p\le \infty }$$に属する。$${{{H}^{p}}\left( \mathbb{D} \right)}$$の関数は
$${\varphi ={{e}^{i\gamma }}{{B}_{\varphi }}{{S}_{\nu }}{{O}_{\varphi }}}$$
と分解される