Paley Wiener 空間

前口上：
$${{{L}^{2}}}$$はヒルベルト空間
$${{{L}^{1}}}$$はバナッハ空間
$${{{L}^{1}}}$$でも$${{{L}^{2}}}$$でも、大した違いはないとおもうかもしれない。
しかし、実際は$${{{L}^{2}}}$$ で考えたほうが
議論の展開がスムーズに進む。
内積が定義され、角度を考えることができる。
幾何学的な直観が素直である。原点の近傍を取るとき、$${{{L}^{2}}}$$では球はまるいが、$${{{L}^{1}}}$$では球は四角。$${{{L}^{2}}}$$は$${{{L}^{1}}}$$より有利である。
 

$${{{L}^{2}}}$$Fourier変換のすすめ

$${F\left( x \right)\in {{L}^{1}}\left( -\infty ,\infty \right)}$$のとき、
$${\hat{F}\left( t \right)=\int\limits_{-\infty }^{{{\infty }^{{}}}}{F\left( x \right)}{{e}^{-2\pi itx}}dx}$$
が定義でき、これは$${t\in \mathbb{R}}$$の連続関数となる。
$${\hat{F}}$$ は $${F}$$ のFourier変換といわれる。
$${{{L}^{2}}\left( -\infty ,\infty \right)}$$の関数は必ずしも$${{{L}^{1}}\left( -\infty ,\infty \right)}$$でないから、
$${F\left( x \right)\in {{L}^{2}}\left( -\infty ,\infty \right)}$$のとき上と同じ方法では
$${\hat{F}\left( t \right)=\int\limits_{-\infty }^{{{\infty }^{{}}}}{F\left( x \right)}{{e}^{-2\pi itx}}dx}$$
を定義できない。しかし、積分範囲を有限にした近似の積分を定義して、その後積分範囲を無限にしたとき$${{L}^{2}}$$の距離で収束するなら、改めてそれを新しい形式のFourier 変換（$${{L}^{2}}$$Fourier 変換）として採用する。すなわち、
$${{{\left| \int\limits_{-A}^{A}{F\left( x \right)}{{e}^{-2\pi itx}}dx \right|}^{2}}\le 2A\int\limits_{-A}^{A}{{{\left| F\left( x \right) \right|}^{2}}dx}\le 2A\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\left| F\left( x \right) \right|}^{2}}dx}<\infty }$$
であるから、次の極限が存在する場合
$${\hat{F}\left( t \right)=\underset{A\to \infty }{\mathop{l.i.m.}}\,\int\limits_{-A}^{A}{F\left( x \right)}{{e}^{-2\pi itx}}dx}$$
この極限$${\hat{F}}$$を$${F}$$の$${{{L}^{2}}}$$Fourier変換と定義する。ここで、$${{{L}^{2}}={{L}^{2}}\left( -\infty ,\infty \right)}$$ は、
$${\left\langle g,h \right\rangle =\int\limits_{-\infty }^{\infty }{g\left( x \right)}\bar{h}\left( x \right)dx}$$
という内積でヒルベルト空間となるので、
$${g\left( t \right)=\underset{A\to \infty }{\mathop{l.i.m}}\,\,\,{{g}_{A}}\left( t \right)}$$という記号は、
$${{{\left\| g \right\|}^{2}}=\left\langle g,g \right\rangle }$$とするノルムで
$${\underset{A\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left\| g-{{g}_{A}} \right\|=0}$$のことを意味している。

$${{{L}^{2}}}$$Fourier変換と$${{{L}^{1}}}$$Fourier変換は記号を区別して書くべきだが、記号をそのまま使い単に
$${\hat{F}\left( t \right)=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{F\left( x \right)}{{e}^{-2\pi itx}}dt}$$
と書くことにしよう。
 
$${{{L}^{2}}}$$Fourierの有利な点は
$${{{L}^{2}}}$$Fourierの逆変換
$${F\left( x \right)=\underset{A\to \infty }{\mathop{l.i.m.}}\,\int\limits_{-A}^{A}{\hat{F}\left( t \right)}{{e}^{2\pi itx}}dt}$$
が無条件に存在する。上の書き方をすれば、
$${\hat{F}\left( t \right)=\int\limits_{-\infty }^{{{\infty }^{{}}}}{F\left( x \right)}{{e}^{-2\pi itx}}dx}$$
$${F\left( x \right)=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\hat{F}\left( t \right)}{{e}^{2\pi itx}}dx}$$
となる。そして、Fourier 変換$${F\to \hat{F}}$$というのは$${{{L}^{2}}}$$から$${{{L}^{2}}}$$への等長変換となっている：$${\left\| F \right\|=\left\| {\hat{F}} \right\|}$$。これはプランシュレルの等式というものである。
プランシュレルの等式は$${{{L}^{1}}\left( -\infty ,\infty \right)}$$の関数では成り立たない。したがって、
$${{{L}^{1}}}$$Fourier変換$${ \hat{F}}$$が$${{{L}^{1}}\left( -\infty ,\infty \right)}$$に属すとは限らない。

$${{L}^{2}}$$では、パセバルの等式は
$${\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\hat{F}\left( t \right)}\overline{\hat{G}\left( t \right)}dt=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{F\left( x \right)}\overline{G\left( x \right)}dx}$$
プランシュレルの等式は
$${\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\left| \hat{F}\left( t \right) \right|}^{2}}dt=}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\left| F\left( x \right) \right|}^{2}}dx}}$$
である。
 
このことは、Paley Wiener空間の定義や、Fourier級数とFourier変換との関係へとつながっていく。
$${\text{supp}\hat{F}}$$ が有限の場合、式を簡単に見やすくするため$${\tau >0}$$ として$${\text{supp}\hat{F}=\left[ -\frac{\tau }{2\pi },\frac{\tau }{2\pi } \right]}$$

を仮定する。つまり、$${\hat{F}\left( t \right)=0}$$ for $${t>\frac{\tau }{2\pi }}$$ or $${t<-\frac{\tau }{2\pi }}$$と仮定する（band limited!）。　逆変換の式から
$${F\left( x \right)=\int\limits_{-\frac{\tau }{2\pi }}^{\frac{\tau }{2\pi }}{\hat{F}\left( t \right)}{{e}^{2\pi itx}}dt}$$
このとき、$${x\in \mathbb{R}}$$ を$${z\in \mathbb{C}}$$ ,$${z=x+iy}$$におきかえて

$${F\left( z \right)=\int\limits_{-\frac{\tau }{2\pi }}^{\frac{\tau }{2\pi }}{\hat{F}\left( t \right)}{{e}^{2\pi itz}}dt}$$
とおいてみる。
任意の3角形$${\Delta }$$をとると、

 $${\int\limits_{\Delta }{F\left( z \right)dz=\int\limits_{\Delta }{\int\limits_{-\frac{\tau }{2\pi }}^{\frac{\tau }{2\pi }}{\hat{F}\left( t \right)}}}{{e}^{2\pi iz}}dtdz=\int\limits_{-\frac{\tau }{2\pi }}^{\frac{\tau }{2\pi }}{\hat{F}\left( t \right)}\left( \int\limits_{\Delta }{{{e}^{2\pi iz}}dz} \right)dt=0}$$

となるので、Moreraの定理により、$${F\left( z \right)}$$は正則となる。しかもこの３角形は複素平面のどこでもつくれるので、$${F\left( z \right)}$$は整関数entire functionとなる。
$${F\left( z \right)=\int\limits_{-\frac{\tau }{2\pi }}^{\frac{\tau }{2\pi }}{\hat{F}\left( t \right)}{{e}^{2\pi itz}}dt}$$
にコーシーシュワルツを適用すると
$${\left| F\left( z \right) \right|=\left| \int\limits_{-\frac{\tau }{2\pi }}^{\frac{\tau }{2\pi }}{\hat{F}\left( t \right)}{{e}^{2\pi itz}}dt \right|\le {{e}^{\tau \left| \operatorname{Im}z \right|}}\int\limits_{-\frac{\tau }{2\pi }}^{\frac{\tau }{2\pi }}{\left| \hat{F}\left( t \right) \right|dt}}$$
となり、$${F\left( z \right)}$$がexponential type $${\tau }$$ の整関数であることが分かる。
 
応用）$${\tau =\pi }$$を仮定する。（本質的な仮定ではなく記号をみやすくするため）
 
$${\left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)}$$で定義された関数$${g\left( x \right)}$$ の$${{{L}^{2}}}$$Fourier級数 は
$${g\left( x \right)=\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{{{g}_{k}}{{e}^{2\pi ix}}}}$$ ,
$${\hat{g}\left( k \right)=\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{g\left( t \right){{e}^{-2\pi ikt}}dx}}$$
$${\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{{{\left| g\left( t \right) \right|}^{2}}dt={{\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}{\left| \hat{g}\left( k \right) \right|}}^{2}}}}$$
などの関係を与えるが、

ここで、$${g\left( t \right)=\hat{F}\left( t \right)}$$とおくと
$${\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\left| F\left( x \right) \right|}^{2}}dx}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\left| \hat{F}\left( t \right) \right|}^{2}}dt}=\int\limits_{-1/2}^{1/2}{{{\left| \hat{F}\left( t \right) \right|}^{2}}dt}=\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}{{{\left| F\left( k \right) \right|}^{2}}}}$$
となる。つまり、Band limitedな関数$${F\left( x \right)}$$において、
$${\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\left| F\left( x \right) \right|}^{2}}dx}=\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{{{\left| F\left( k \right) \right|}^{2}}}}$$
がなりたつという意味深い式を得る。
そして、$${F\left( z \right)}$$はexponential type な整関数で、実軸上すなわち、$${z=x}$$とするとき、$${F\left( x \right)}$$は$${{{L}^{2}}\left( -\infty ,\infty \right)}$$ に属する関数とすると、そのような関数全体はヒルベルト空間になる。

そこで、$${F\left( z \right)}$$はexponential type な整関数で、実軸上すなわち、$${z=x}$$とした$${F\left( x \right)}$$は$${{{L}^{2}}\left( -\infty ,\infty \right)}$$ に属する関数全部で作る空間をPWとかきPaley Wiener 空間と呼ぶ
PWにおけるノルムは
$${{{\left\| F \right\|}_{PW}}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\left| F\left( x \right) \right|}^{2}}dx}}$$で定義する。
 

命題　$${\left( PW\left( \tau \right),{{\left\| {} \right\|}_{PW}} \right)}$$は、$${\mathbb{C}}$$ 上のヒルベルト空間である。

内積は、
$${\left\langle F,G \right\rangle =\int\limits_{-\infty }^{\infty }{F\left( x \right)\overline{G\left( x \right)}}dx}$$となる。完備性だけ示しておこう。
$${\left\{ {{F}_{n}} \right\}}$$を$${PW\left( \tau \right)}$$のコーシー列とする。プランシュレルの等式より$${{{\left\| {{F}_{n}}-{{F}_{m}} \right\|}^{2}}={{\left\| {{{\hat{F}}}_{n}}-{{{\hat{F}}}_{m}} \right\|}^{2}}}$$であるから
$${\left\{ {{{\hat{F}}}_{n}} \right\}}$$は$${{{L}^{2}}\left[ -\frac{\tau }{2\pi },\frac{\tau }{2\pi } \right]}$$ におけるコーシー列。$${{{L}^{2}}\left[ -\frac{\tau }{2\pi },\frac{\tau }{2\pi } \right]}$$は完備であるから、ある$${\hat{G}\in {{L}^{2}}\left[ -\frac{\tau }{2\pi },\frac{\tau }{2\pi } \right]}$$が存在して $${{{\hat{F}}_{n}}\to \hat{G}}$$。したがってプランシュレルの等式を再び用い
$${{{F}_{n}}\to \hat{\hat{G}}}$$。ところで$${\hat{\hat{G}}}$$ は$${PW\left( \tau \right)}$$に属していることもわかる
 
このようにしてPW空間をあつかう関数解析とexponential type をもつ整関数をあつかう複素関数論とのコラボレーションができるようになる。

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