ワイエルストラスの多項式近似

定理　ワイエルストラスの多項式近似
$${f\left( x \right)}$$ を$${x\in \left[ 0,1 \right]}$$ 上で定義された連続関数とする。ある多項式の列$${{{P}_{n}}\left( x \right)}$$ が存在して、$${{{P}_{n}}\to f}$$（一様収束）が成り立つ。

準備：$${n\ge 2}$$ とする。
$${{{\left( x+y \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{\left( \begin{matrix}n \\k \\\end{matrix} \right){{x}^{k}}{{y}^{n-k}}}}$$
を$${x}$$ で1回微分すると
$${n{{\left( x+y \right)}^{n-1}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{k\left( \begin{matrix}n \\k \\\end{matrix} \right){{x}^{k-1}}{{y}^{n-k}}}}$$
２回微分すると
$${n\left( n-1 \right){{\left( x+y \right)}^{n-2}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{k}^{2}}\left( \begin{matrix}n \\k \\\end{matrix} \right){{x}^{k-2}}{{y}^{n-k}}-}\sum\limits_{k=0}^{n}{k\left( \begin{matrix}n \\k \\\end{matrix} \right){{x}^{k-2}}{{y}^{n-k}}}}$$
それぞれの式の両辺に$${x}$$と$${{{x}^{2}}}$$ を掛けて

$${nx{{\left( x+y \right)}^{n-1}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{k\left( \begin{matrix}n \\k \\\end{matrix} \right){{x}^{k}}{{y}^{n-k}}}}$$
$${n\left( n-1 \right){{x}^{2}}{{\left( x+y \right)}^{n-2}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{k}^{2}}\left( \begin{matrix}n \\k \\\end{matrix} \right){{x}^{k}}{{y}^{n-k}}-}\sum\limits_{k=0}^{n}{k\left( \begin{matrix}n \\k \\\end{matrix} \right){{x}^{k}}{{y}^{n-k}}}}$$
を得る。この２つの式で$${y=1-x}$$とおくと$${{nx}=\sum\limits_{k=0}^{n}{k\left( \begin{matrix}n \\k \\\end{matrix} \right){{x}^{k}}{{(1-x)}^{n-k}}}}$$
$${n\left( n-1 \right){{x}^{2}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{k}^{2}}\left( \begin{matrix}n \\k \\\end{matrix} \right){{x}^{k}}{{\left( 1-x \right)}^{n-k}}-}\sum\limits_{k=0}^{n}{k\left( \begin{matrix}n \\k \\\end{matrix} \right){{x}^{k}}{{\left( 1-x \right)}^{n-k}}}}$$
となる。これらの式から
$${{{r}_{k}}\left( x \right)=\left( \begin{matrix}n \\k \\\end{matrix} \right){{x}^{k}}{{\left( 1-x \right)}^{n-k}}}$$
とおくと、
$${\sum\limits_{k=0}^{n}{{{r}_{k}}\left( x \right)}=1}$$
$${n\left( n-1 \right){{x}^{2}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{k}^{2}}{{r}_{k}}\left( x \right)}-\sum\limits_{k=0}^{n}{k{{r}_{k}}\left( x \right)}}$$
$${\sum\limits_{k=0}^{n}{{{k}^{2}}{{r}_{k}}\left( x \right)}=\sum\limits_{k=0}^{n}{k{{r}_{k}}\left( x \right)-n\left( n-1 \right){{x}^{2}}=nx-n\left( n-1 \right){{x}^{2}}}}$$
$${\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( k-nx \right)}^{2}}{{r}_{k}}\left( x \right)}=}$$$${\sum\limits_{k=0}^{n}{{{k}^{2}}{{r}_{k}}\left( x \right)}-}$$$${2nx\sum\limits_{k=1}^{n}{k{{r}_{k}}\left( x \right)+}}$$$${{{\left( nx \right)}^{2}}\sum\limits_{k=0}^{n}{{{r}_{k}}\left( x \right)}}$$
$${=nx-n\left( n-1 \right){{x}^{2}}}$$$${-2{{\left( nx \right)}^{2}}}$$
$${+{{\left( nx \right)}^{2}}=nx\left( 1-x \right)}$$
を得る。これらの関係式を用いて定理の証明を行う。
定理の証明：
$${f\left( x \right)}$$ はコンパクト集合$${\left[ 0,1 \right]}$$ 上で連続関数であるから有界である。
$${\left| f\left( x \right) \right|\le M,x\in \left[ 0,1 \right]}$$
をみたす$${M>0}$$ が存在する。また、$${f\left( x \right)}$$の一様連続性から$${\forall \varepsilon >0}$$ に対して$${\exists \delta >0}$$ で$${\left| x-x' \right|<\delta \Rightarrow \left| f\left( x \right)-f\left( x' \right) \right|<\varepsilon }$$
となる。
$${\left| f\left( x \right)-\sum\limits_{k=0}^{n}{f\left( \frac{k}{n} \right){{r}_{k}}\left( x \right)} \right|=\left| \sum\limits_{k=0}^{n}{\left( f\left( x \right)-f\left( \frac{k}{n} \right) \right){{r}_{k}}\left( x \right)} \right|}$$
$${\le \left| \sum\limits_{\left| k-nx \right|\le \delta n}{{}} \right|+\left| \sum\limits_{\left| k-nx \right|>\delta n}{{}} \right|={{I}_{1}}+{{I}_{2}}}$$
のように2つの部分に分ける。
$${{{I}_{1}}=\left| \sum\limits_{\left| k-nx \right|\le n\delta }{\left| f\left( x \right)-f\left( \frac{k}{n} \right) \right|{{r}_{k}}\left( x \right)} \right|}$$$${\le \varepsilon \sum\limits_{k=0}^{n}{{{r}_{k}}\left( x \right)}=\varepsilon }$$
$${{{I}_{2}}=\left| \sum\limits_{\left| k-nx \right|>n\delta }{\left| f\left( x \right)-f\left( \frac{k}{n} \right) \right|{{r}_{k}}\left( x \right)} \right|}$$
$${\le 2M\sum\limits_{\left| k-nx \right|>n\delta }{{{r}_{k}}\left( x \right)}\le 2M\sum\limits_{\left| k-nx \right|>n\delta }{\frac{{{\left( k-nx \right)}^{2}}}{{{\left( n\delta \right)}^{2}}}{{r}_{k}}\left( x \right)}}$$
$${\le \frac{2M}{{{\left( n\delta \right)}^{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( k-nx \right)}^{2}}{{r}_{k}}\left( x \right)}}$$$${\le \frac{2M}{{{\left( n\delta \right)}^{2}}}nx\left( 1-x \right)}$$
となる。最後の式は$${n\to \infty }$$として０にいく。
つまり、$${n\to \infty }$$として
$${\left| f\left( x \right)-\sum\limits_{k=0}^{n}{f\left( \frac{k}{n} \right){{r}_{k}}\left( x \right)} \right|\le \varepsilon }$$
$${\varepsilon }$$ は任意に小さくとれるので、$${{{P}_{n}}\left( x \right)=\sum\limits_{k=0}^{n}{f\left( \frac{k}{n} \right){{r}_{k}}\left( x \right)}}$$とおけば、
$${{{P}_{n}}\to f}$$（一様収束）が成り立つ。$${\square }$$
この定理はWeierstrassが８０歳の時に証明したといわれている。
さらに時代が進み、次のように一般化されている。

The Stone-Weierstrass の定理：
$${X}$$をコンパクトな空間、$${C\left( X \right)}$$ を$${X}$$ 上連続な関数で作る空間とする。$${B\subset C\left( X \right)}$$ がつぎの３条件を満たすとする。
（１）$${f,g\in B\Rightarrow }$$$${f\cdot g\in B}$$ ,
$${\alpha f+\beta g\in B}$$ ($${\alpha ,\beta }$$はスカラー)
（２）$${1\in B}$$
（３）$${B}$$ は閉集合
このとき、$${B=C\left( X \right)}$$となる必要十分条件は関数空間$${B}$$ が$${X}$$ の点を分離することである。

ここで、
$${B}$$ が$${X}$$ の点を分離するとは、
$${s\ne t}$$ となる２点$${s,t\in X}$$ に対して、ある$${f\in B}$$ が存在して$${f\left( s \right)\ne f\left( t \right)}$$ とできることである。
Weierstrassの定理はStone-Weierstrassの定理における$${B}$$ として多項式全体をえらべばよいことを言っている。
Stone-Weierstrassの定理の証明には、コンパクト性とかハウスドルフ性といった位相空間の概念を用いる必要がある。
また、$${B}$$ として$${\sum\limits_{k=-n}^{n}{{{c}_{k}}{{e}^{ikx}}}}$$のようなもの全体を選ぶことにより、
連続関数にたいして一様収束するようなフーリエ級数（ただしくは３角多項式）があることも証明できる。Fejerの定理！