掛け算作用素のスペクトラム

掛け算作用素のスペクトラム
 
実数直線のある区間$${\left[ a,b \right]}$$ で定義されたルベッグの意味で2乗可積分な関数の空間を$${{{L}^{2}}\left[ a,b \right]}$$とおく。すなわち、$${f\in {{L}^{2}}\left[ a,b \right]}$$は$${{{\int_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|}}^{2}}dx<+\infty }$$ を意味する。これは暗黙の了解なのだが$${{{L}^{2}}\left[ a,b \right]}$$においては測度ゼロで異なっていてもそれは同一視される。つまり、$${{{\int_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|}}^{2}}dx=0}$$なら、$${f=g}$$ と考える。ルベッグ積分論が理論を進めるうえで優位なのは、このような同一視を許すことのほかに$${\infty }$$ の取り扱いで、$${a+\infty =\infty +a=\infty }$$ とか$${a>0}$$ で$${a\cdot \infty =\infty \cdot a=\infty }$$、$${a=0}$$ では $${a\cdot \infty =\infty \cdot a=0}$$などの実数を拡大した数を自由に用いることにある。Riemann積分からLebesgue積分への移行は有理数体から実数体への拡大に似ている。
$${{{L}^{2}}\left[ a,b \right]}$$から$${{{L}^{2}}\left[ a,b \right]}$$への線形作用で掛け算作用素$${Pf=xf}$$ を考え、$${P}$$ のスペクトラムを同定しよう。
$${P\left( \alpha f+\beta g \right)=x\alpha f +x\beta g=\alpha xf+\beta xg}$$ $${=\alpha P\left( f \right)+\beta P\left( g\right)}$$
であるから$${P}$$は線形作用素であり、

$${{{\left\| Pf \right\|}^{2}}=\int\limits_{a}^{b}{{{\left| xf\left( x \right) \right|}^{2}}dx}\le}$$
$${ \max \left( {{a}^{2}},{{b}^{2}} \right)\int\limits_{a}^{b}{{{\left| f\left( x \right) \right|}^{2}}dx=}\max \left( {{a}^{2}},{{b}^{2}} \right){{\left\| f \right\|}^{2}}}$$
であるから、$${P}$$は有界作用素でもある。$${{{\left\| \left( P-\lambda I \right)f \right\|}^{2}}={{\left\| \left( x-\lambda \right)f \right\|}^{2}}=\int_{a}^{b}{{{\left| x-\lambda \right|}^{2}}{{\left| f\left( x \right) \right|}^{2}}dx}}$$
より、$${\lambda \notin \left[ a,b \right]}$$ において$${{{\left\| \left( P-\lambda I \right)f \right\|}^{2}}=0}$$となるのは
$${f\left( x \right)=0,a.e.}$$ の場合に限ることがわかる。$${f\left( x \right)=0,a.e.}$$は上の暗黙の了解から
$${f\left( x \right)=0}$$と書く。このことから
$${\lambda \notin \left[ a,b \right]}$$において
$${P-\lambda I}$$は（ $${\ker (P-\lambda I)}$$がゼロであるから）１対１作用素であることがわかる。
さらに、任意の $${\lambda \notin \left[ a,b \right]}$$と$${g\in {{L}^{2}}\left[ a,b \right]}$$に対して$${\left| x-\lambda \right| \ge d>0}$$であるから$${{{\int_{a}^{b}{\left| \frac{g\left( x \right)}{x-\lambda } \right|}}^{2}}dx\le {{\int_{a}^{b}{\left| \frac{g\left( x \right)}{d} \right|}}^{2}}dx= \frac{{{\left\| g \right\|}^{2}}}{{{d}^{2}}}}$$
すなわち、
$${\left[ \frac{g\left( x \right)}{x-\lambda } \right]\in {{L}^{2}}\left[ a,b \right]}$$であり、$${\left( P-\lambda I \right)\left[ \frac{g\left( x \right)}{x-\lambda } \right]=g\left( x \right)}$$
となることを考えれば$${P-\lambda I}$$が上への写像であることもわかる。つまり、$${P-\lambda I}$$には逆作用素$${{{\left( P-\lambda I \right)}^{-1}}}$$が存在する。この$${{{\left( P-\lambda I \right)}^{-1}}}$$が有界になることは、バナッハ空間論で有名な開写像定理とその系から導かれる。
 

定理（open mapping theorem 開写像定理
$${{{B}_{1}},{{B}_{2}}}$$をバナッハ空間とする。$${T}$$ を$${{{B}_{1}}}$$から$${{{B}_{2}}}$$の上への有界線形作用素とするとき、$${{{B}_{1}}}$$の開集合$${O}$$ は$${{{B}_{2}}}$$の開集合$${TO}$$ に写される。
系　$${{{B}_{1}},{{B}_{2}}}$$ をバナッハ空間とする。$${T}$$ を$${{{B}_{1}}}$$から$${{{B}_{2}}}$$の上への有界線形作用素とするとき、有界な逆写像$${{{T}^{-1}}}$$をもつ。

これらの定理、系より$${\lambda \notin \left[ a,b \right]}$$は$${P}$$ のレゾルベント集合$${\rho \left( P \right)}$$に属すること
いいかえれば、スペクトル集合
$${\sigma \left( P \right)=\mathbb{C}\backslash \rho \left( P \right)}$$は$${\sigma \left( P \right)\subset \left[ a,b \right]}$$
を満たすことがわかる。ここで、この包含関係が実は $${\sigma \left( P \right)=\left[ a,b \right]}$$であることを示そう。そのために$${\left[ a,b \right]\backslash \sigma \left( P \right)=\left[ a,b \right]\cap \rho \left( P \right)}$$ より$${\lambda }$$ をえらぶ。そして$${x\in \left[ a,b \right]}$$上の関数$${{{C}_{n}}\left( x \right)}$$を、 $${\left| x-\lambda \right|\le \frac{1}{n}}$$ において １それ以外で０となる関数とする。$${{{C}_{n}}\in {{L}^{2}}\left[ a,b \right]}$$、$${\left\| {{C}_{n}} \right\|\ne 0}$$ であるから、$${{{f}_{n}}\left( x \right)=\frac{{{C}_{n}}\left( x \right)}{\left\| {{C}_{n}} \right\|}}$$とおくと、$${\left\| {{f}_{n}} \right\|=1}$$すなわち、$${{{\int_{a}^{b}{\left| {{f}_{n}}\left( x \right) \right|}}^{2}}dx=1}$$となる。このことを用いると
$${{{\left\| \left( P-\lambda I \right){{f}_{n}} \right\|}^{2}}=\int_{a}^{b}{{{\left| x-\lambda \right|}^{2}}{{\left| {{f}_{n}}\left( x \right) \right|}^{2}}dx}}$$$${\le \frac{1}{{{n}^{2}}}\int_{a}^{b}{{{\left| {{f}_{n}}\left( x \right) \right|}^{2}}dx}=\frac{1}{{{n}^{2}}}}$$
となる。ところが、$${\lambda \in \rho \left( P \right)}$$としたので、$${P-\lambda I}$$は有界な逆作用素$${{{\left( P-\lambda I \right)}^{-1}}}$$をもち、
$${{{f}_{n}}={{\left( P-\lambda I \right)}^{-1}}\left( P-\lambda I \right){{f}_{n}}}$$
と書いてやると
$${\left\| {{f}_{n}} \right\|\le \left\| {{\left( P-\lambda I \right)}^{-1}} \right\|\left\| \left( P-\lambda I \right){{f}_{n}} \right\|\le \frac{1}{{{n}^{2}}}\left\| {{\left( P-\lambda I \right)}^{-1}} \right\|}$$
であるから、$${{{f}_{n}}\to 0}$$ となる。これは$${{{\int_{a}^{b}{\left| {{f}_{n}}\left( x \right) \right|}}^{2}}dx=1}$$という条件に矛盾する。
証明おわり