2025年度東大数理+東工大数学系院試体験記
こんにちは。表題の通り、2025年度の東大数理、東工大理学院数学系の院試を受験しましたので、その備忘録的なものをつらつらと書き殴っていこうと思います。特に東大数理の院試体験記はググれば山ほど出てくると思うのでこのnoteに需要があるかはわかりませんが、年度は新しいものの方が良いでしょうから、もし参考にしたいという方がいらっしゃればぜひ読んでいってください。ただし、院試は学部入試以上にコロコロ形式が変わったり（細かいことを言えば試験開始時間が年によって違ったり）するので、ここに書いてあることを鵜呑みにすることだけは避けていただきたいと思います。
筆者は東大の内部生で普段確率論や数理統計の勉強をしています。ご参考までに。
3年生まで
2年生の時に父の職場で統計ブームが起こっていることを聞き、その勉強を教えてくれと言われたので流れで手始めに統計検定2級をサクッと勉強して取得しました。それじゃあせっかくならということで統計検定1級の勉強もしようとなり、そこでどうやら測度論が必要になるらしいぞということをうっすら感じとりました。(使った本は竹村『現代数理統計学』です。)その伏線回収が3S必修の解析学IV(Lebesgue積分論)で行われ、そのまま興味を持ったので数学輪講ではFerguson (1996) "A Course in Large Sample Theory"を読んでいました。特に院試に向けた準備をしていたわけではなかったような気がします。
4年生
7月まで
解析学VII(関数解析)、確率統計学II(統計的大標本論)、確率統計学III(確率過程論)の講義を履修していました。履修科目数的にもそこまで忙しくはならないだろうと思っていたのですが、主に誤植や本質的な誤りの修正に厖大な時間を費やしていたために講究の準備に追われあまり余裕はなかったと思います。自主ゼミで東大院試対策が行われていて、A問題を解く会があったのですが、なんとなくやる気が起きず過去問を消費するのが憚られたため特に参加せず、学科discordに挙げられていたゼミ記録の板書も見ませんでした。
それとは別に、6月中頃に講究の相方からB問題の確率・統計分野の問題を解かないかと誘われ、流石に焦りを覚え始めていた僕は過去問の消費を渋りつつもこのまま放置していたらいつまでも解かないなと思い参加することにしました。毎週2~3年分の問題を解いて議論するという形式でした。もちろんその日までに解けなかった問題も幾つかありましたが、その後で解けたりしてなんだかんだでフォローはできていました。最終的には2004~2024の問題は小問2つ(2006、2013)を除いて解決しました。院試が終わった後にこれらも解決しました。
その後院試まで
講義も終わり、課題も終わり、いよいよ後は院試に向かってまっしぐらというところまで来ました。東大数理の院試Aでは必答2問、(実)解析(?)、複素解析、微分方程式の中から2問を、Bでは確率、統計と適当に測度論の問題を解こうと決めていました。ざっとA問題を眺めている限りでは3完以上は安定して取れそうで、B問題に関しても近年確率・統計分野の問題が異様に易化していることから筆記は問題ないだろうと踏んでいました。そのため、主に口頭試問の対策を行っていました。やったことは主に3Sの確率統計学基礎、3Aの確率統計学I(確率論)、および講究の復習です。流石に何回も同じ議論やらを見ていると禿げそうになりますね。 東工大の院試体験記も兼ねているのにここまで何も書いていないのはどうなのかという感じがするので書いておくと、午前問題は線型代数×2、集合と位相、解析×2、午後問題は各専門分野の問題×3くらい(?)といった問題構成になっています。(私は解析の人間なので他分野については疎いです。受験される方はご自身で確認してください。)解析については大体毎年複素解析、Lebesgue積分、関数解析、PDEのうち3つが出ていたような気がします。関数解析は解けないのでもうこの時点で捨てることを決めていました。過去問は午前午後両方とも5年分ほど解いていけそうだなと思ったのでそれ以上は解かず東大対策に振りました。個人的には時間的制約なども含め、東工大午前の方が東大Aよりも難しい気がするのですがどうなんでしょう……
東京工業大学
1日目(2024年8月16日)
関東地方に台風7号が接近し、このまま実施するのかと若干混乱気味でしたが予定通り決行されました。前日から低気圧によりひどい頭痛に悩まされ若干のビハインドを感じていましたが、糖分をドカドカ摂取して頭痛に気づかないふりをしていました。試験中に急に土砂降りになったり、かと思えば蝉が鳴いたりして随分情緒不安定な天気だったのを覚えています。
松屋で朝食をとり、試験会場に向かいました。この時期は松屋で永遠にポルノグラフィティの『ミュージック・アワー』が流れていました。
ここからは問題のネタバレを含みます。見たくない方は枠で囲まれた部分を飛ばしてください。以降も特に断らない限り、問題のネタバレを含む際はこのように枠囲みを使います。
過去問を解くときは、解析2問を早めに片付け、残った時間で線型2問と集合位相を解き、最終的には4問以上は確実に完答できるという状態でした。そのため本番でも同じように解析から手をつけようとしました。
まず[4]から。私は数理統計の勉強をしたことがあっため、題材自体には見覚えがあり、性質としては(1)~(3)まですべて知っていました。試験本番であまり時間がなかったため大雑把に(1)と(3)だけ回答を書いたまではよかったのですが、(2)がどうにも議論の甘いところが出てきてしまい、そこがどうしても潰しきれませんでした。試験開始から30分ほど経っていたので、一旦別の問題に移ろうと思い[5]へ。(1)は極座標変換でスッと解けましたが問題は(2)です。これ、最後に極限を取るのでガチガチに変数変換などを駆使して$${I(a)}$$をはじめから$${\Gamma}$$関数や$${B}$$関数で表す必要はないのですが、変数変換をしているうちに薄ぼんやりと見覚えのある形が出てきてしまいそこから沼りに沼って全く結論が見えませんでした。後で解き直して分かったのですが、優収束定理を使えば厄介な項はすべて処理できるのでここまで粘らなくてもよかったみたいです。
さて、解析2問が完答できず焦りもありつつ[3]を見てみると、これは記述こそ多少面倒ではあるものの結論自体は容易に分かったので30分程度で(4)までの回答を書き上げました。線形代数に向かいます。[1]を見てみます。(1)はそのまま計算するだけ……のはずだったのですが何故か符号ミスをしてしまいました。（終了5分前に気づいて修正できました。）次に(2)ですが、最小多項式の求め方をパワープレイでやる方法以外覚えていなかったためスルー。(3)に関しては、固有値が与えられているため簡単にできました。しかし、a~eの値がすべて1つに決まるのに「必要十分条件を求めよ」と書かれていたため多少不安を感じ少し丁寧に見直しをしました。
そしてここで何を血迷ったのか[4][5]を反復横跳びする暴挙に出て時間を潰します。完全にやらかしました。残り時間があと10分くらいになっても解けず[2]を見るとこれはすぐに方針が立ったのですが時既に遅しで、丁寧に回答を書ききれず方針だけ書いて終わりました。
過去問と比してもかなり出来が悪かったのが体感でわかったので萎えました。試験の受け方が下手だったような気がします。
想定をはるか下回る出来だったので不安でしたが、昼休みに同学の友人の話を聞いた限り全然解けなかったようなので少し安心しました。後塵を拝するようなことはしていないと自分に言い聞かせ午後に臨みました。
気を取り直して午後です。午前でやらかしていたこともあってここは1問も落とせないというつもりでやっていました。解析は[6]複素解析[7]Lebesgue積分[8]関数解析という構成でした。関数解析は勉強したてで解けないのはわかっていたのでこの時点で[6][7]を解くことが確定しました。まず[7]を解きます。(1)は無限遠方の挙動は$${n\to\infty}$$で$${O(x^{-2})}$$であることがすぐ分かったのですが、原点付近の評価に難儀しました。しかし15分くらい考えていると$${y>0}$$に対し$${\arctan y< y}$$であることに気づき(恥ずかしながら知りませんでした)そのまま解けました。(2)は知っていたのでそのまま知っていることを書きました。(3)は一瞬Borel-Canteliの補題のような雰囲気を感じましたが(2)を使えば簡単に評価できることに気がつきそのまま完答しました。[6]に向かいます。$${L^2}$$正則関数に関する話でしたが、偶然にも前日にRiemannの除去可能特異点定理の証明を読んでいたのでラッキーと思いながらGutzmerの公式を使い(1)~(3)はサクサク進みました。(4)は$${L^2}$$正則空間が完備であることを証明する問題でしたが、これは実は個人的に対策していた問題だったのでこれもラッキーでした。しかしここで浮き足だって極限関数が$${L^2}$$であることを示して正則であることを示し忘れました。悔しい。これは$${D}$$に含まれるcompact集合$${K}$$を取ると(3)の評価式を使うことによって$${\{f_n\}}$$の$${K}$$上一様収束が言えるので極限関数は$${K}$$上正則という単純な話なのでそんなに点は引かれてない……と思いたい。
ということで午後はまあまあ挽回できたかなと思います。
東工大の口頭試問は筆記の成績優秀者が午前に回され微妙だった人は午後に回されるということを風の噂で聞いていましたが、この時点で筆記落ちもしくは午後になることを覚悟しました。
英語はめちゃくちゃ簡単でした。辞書持ち込み可ですが一人暮らしで家に辞書がなかった上前日ブックオフに行って辞書を探すと中古で2000円くらいして目ん玉が飛び出たので結局辞書は持っていきませんでした。余程の英弱でない限り辞書はなくてもいい気がします。
その日はどうしても午前問題のことを考えてしまい気が滅入っていました。疲れていたので早々に寝ました。
さて翌日です。確か17時頃に口頭試問の受験資格者が発表される予定だったのですが、採点に時間がかかっているのか時間になっても全く発表される気配がありません。スプラでクマフェスが来ていたのでノーミスカンストしました。(スクショ撮り忘れた……) ムニエールのノーミスカンストは2回目でした。サモランをやっている方ならわかると思いますが、結構時間がかかります(4時間弱)。それでもまだホームページが更新されないので、諦めてご飯を食べてお風呂に入りました。結局発表されたのは21時半頃だった気がします。
見ると、自分の番号がありました。そして解析がなんと少ないことか……そもそも解析系は午前の受験者がおらず、全員午後で、しかも8人しかいませんでした。他分野には午前も午後もいました。とりあえず一安心です。今年に関しては、先ほど述べた風の噂はおそらく適用されていないと思います。
2日目(2024年8月18日)
会場に着くと見知った顔ばかりで少しギョッとしました。割とすぐに自分の番が回ってきたのですが、事務的な確認ばかりですぐ終わりました。この時点で合格を確信しました。口止めは特にされなかったので書いてもいいと思いますが、思い出せる範囲で書くと、
(合否には関係ないと明言された上で)併願校はあるか、また両方ともに合格した場合どちらに進学する予定か
筆記試験の出来はどうだったか
今までにどんなことを勉強してきたか
指導教員は誰を希望するか
といった感じです。10分くらいで終わった気がします。
試験会場を出て武蔵小杉のミスドでポン・デ・ストロベリーとチョコファッションを食べました。愛知出身の者としては大岡山にせっかく来たのだから歌志軒に寄りたかったのですがさすがに口頭試問前に昼ごはんを食べてきて胃のキャパがなかったので断念しました。
その後
残るは東大数理のみなので、全力で対策しました。本番の1週間前の平日5日間毎日A問題を1年分解きました。3完1半以上は安定して取れ、4完できることも珍しくありませんでした。ちなみにこの頃はA問題に完全に気を取られ、結局B問題を通しでやったのは最新の1年分のみになってしまいました。
東工大での反省なのですが、筆記の時に計算用紙を使っている時間が長すぎたような気がしました。私は確実に答えが出るまで計算用紙で計算を続けてしまう癖があり、もちろん時間がタイトな試験ではそんなことをすれば一瞬でタイムオーバーになってしまいます。そこで、東大ではある程度不確かな状態でも解答用紙に手をつけようと心がけました。こういうことを知れたという点でも東工大の受験は試験の練習として良かったと思います。
余談ですが、数理の図書館はエアコンが28℃に設定されていて暑いので、専らコモンルームや総合図書館で勉強をしていました。まあまあ涼しくて快適です。最後の日には総合図書館に頭を下げてキャンパスを後にしました。
東京大学
1日目(2024年8月26日)
朝から緊張のしすぎで手の震えが止まりませんでした。私は大講義室で受けることになりました。他に117と123が会場として設定されていましたが、大講義室が一番広々としていてしかも涼しかった気がします。
さて英語です。過去問を最新の1年分しかやっていませんでした。その問題を見る限り分量的には問題ないだろうと思っていたのですが、今年の問題は心なしか量が多かったような気がします。和訳×2、英訳といった構成でしたが、和訳が終わった時点で30分しか残っておらずかなり焦りました。
英訳は学部入試のような複雑な構文などは出てこないので、数学英語の語彙をしっかり押さえていれば意味はわかると思います。講究で英語の本を読んでいれば抵抗感もなく読めるのではないでしょうか。和訳に関してはある程度決まった言い回しなどを覚えて望めばいいのではないでしょうか。
さて、午後のA問題に取り掛かります。
まずざっくりと全体に目を通します。例年通りA1とA2が必答でした。選択問題に関してはA3が一様収束に関する問題で、A6が複素解析、A7が微分方程式でA6はPoisson核っぽい雰囲気を感じたのですが式の形が煩雑でPoisson核のことなど何も覚えていなかったので捨てることを決め、A3とA7を解くことにしました。全体の中でA7が一番簡単そうだったのでこれから解き始めました。誘導の付け方が丁寧で(1)(2)はすんなり解けましたが、(3)でどうにも計算が合わず焦っていると(1)から計算ミスをしていることに気がつき再度(1)からやり直す羽目になりました。すると(3)まで解けて一安心でした。
ここでトイレに行きたくなりましたが、時間を失うのが嫌だったので我慢して問題を解き続けました。
次にA3が解けそうだったので手をつけ始めました。(1)は$${\sin}$$の$${n}$$回合成に関する問題でした。そこで、$${\underbrace{\sin \sin \cdots \sin}_{n 個} 1}$$で$${n\to\infty}$$とした極限を考えることになったのですがうまい評価式が思いつかず一回飛ばして(2)を見ました。これは$${x,y,z}$$に具体的な値を代入してみて極限を取ってみることで各点収束先がすぐわかり、そのまま一様収束も簡単に示せました。(1)が分からずしばらく悩んでいると、「下に有界な単調減少列は収束する」ことから極限値を$${\alpha}$$とすると$${\sin\alpha=\alpha}$$であることが突如思いつき、そのまま解けました。(1)も(2)も一様収束すると結論が出てしまったので少し不安でしたが間違ってはいないと思います。
次に解析の問題であるA1を解きました。広義積分の問題でした。Lebesgue可積分なら話は簡単だったのですが、形がそうではなかったので身構えました。形がDirichlet積分っぽかったのもあり複素平面に積分路を取って……ということをして収束を示しましたが、後から聞くと部分積分を繰り返すだけで(1)も(2)も簡単に解けたようです。完全にLebesgue積分に毒されていました。(2)が解けず考え込んでいましたが部分積分の発想が出ず、諦めてA2に向かいます。
直交射影と言われてムッと思いましたが計算自体は単純で、ゴリ押しで表現行列を求め固有値を求め……とするとスッと解けました。答えに3乗根が現れ本当かなあと思いましたが見直しても間違いが見当たらなかったのでこれで終わりにしました。
A1に戻ります。なんやかんやで$${a_0=0}$$は分かりましたが他が分からず尿意に敗北しました。トイレに行かなかったのはバカでした。
体感3完1半でした。まあ良いのではないのでしょうか。4完を狙っていたので少し残念ですが死守ラインは割っていなかったのでその日は安心して寝ました。
2日目(2024年8月27日)
確率論と統計を1問ずつ解くことは決めていて、あとは解析から適当に1問見繕おうと考えていました。
ざっと目を通します。代数・幾何からはもちろん解けそうな問題は1つもなく、解析はB9(積分論)が解けそうだと思いました。目論見通りB13(確率論)、B14(統計)を解くことにしました。その他の応用数学も見てみましたがどれも解けそうにありませんでした。
B14は本当にそのまま解くだけで、30分ほどで完答しました。特にコメントすることもないです。個人的にはデルタ法を用いた分散安定化変換の問題が出るのではないかと勝手に思っていましたがただの妄想でした。
次にB13ですが、確率変数のindexに確率変数が入っているタイプの問題で、このタイプは2013の過去問にも出てきたような扱いが面倒なものです。なんとか(1)(2)は解きましたが、計算が下手なのもありとんでもない計算量になって((2)だけで1時間費やした)計算を合わせられている自信がなく、これ以上不確かな状態で続けたくないと思い(3)(4)は考えもせず次の問題に移りました。
B9は一方向が簡単に示せたので逆を考えました。30分くらい考えていると方針がなんとなく浮かんできたのですが解答を書き終わりそうな段階で誤りに気がついてしまい落ち着くために一度トイレに行きました。
戻ってきてペラペラと問題用紙をめくっているとB12(PDE)が簡単に解けそうだと思い、解答用紙に書いたものを完全に消して新たにB12を解き始めました。(1)(2)は$${\partial_t}$$を考えて部分積分を繰り返せば簡単に分かりました。(3)は$${t}$$に関する有界性を示せば良かったのですが、Hölderの不等式でうまいこと評価しようとしてドツボにハマりなかなか示せませんでした。残り2分くらいのところでSchwarzの不等式を使った評価が思いつきましたが当然書ききれないと判断したためざっくり方針を書いて提出しました。後からPDEの人に聞くとこれはKdV方程式というものらしいです。
というわけで1完2半、しかしそのうちの1半はかなり完答に近かったと思います。実質2完1半 筆記通過の手応えは十分だったので、安心して次の日を迎えました。予想通り筆記は通過して、口頭試問に臨むことになります。
3日目(2024年8月29日)
なんと口頭試問は1日目のトップバッターでした。まあ待たされるよりずっとマシなので良かったです。1時間前くらいに会場に着きました。コモンルームに何人か集まっていたのでその人たちと他愛もない話をして気を紛らわせていました。
口頭試問の内容に関しては箝口令が敷かれたのでここでは書きませんが、特に講義と講究やセミナーの復習はしておいて損になることはないはずです。まあそれで口頭試問の内容を全てカバーできるとも言いませんが。
終わったあとは落ちたとは思いませんでしたが、聞かれたことを思い出して釈然としませんでした。
合格発表
東工大も東大も受かっていました。良かったです。東大は例年35人程度しか合格を出さないはずなのになぜか今年は50人程度が合格していました。何があったんでしょうか？
余談ですが、B問題の過去問の確率・統計分野の問題は全て解決しているので、需要があれば略解などを書こうかなと思います。今のところそんなに気力がありません。LaTeXめんどくさい。
後日談
2024年10月11日追記：
東大の結果の開示が返ってきたので、参考までに載せておこうと思います。（東工大の方はなぜか金がかかるので請求はしていません。）満点はオフィシャルには公開されていませんが以下の値でほぼ確だろうと真しやかに囁かれているのでそう書いておきます。
英語：195/200
専門科目A：260/400
専門科目B：225/300
総合得点（口述試験を含む）：81/100
どうやらAで結構事故ったようです。意外でした。何か間違えたっぽいです。他は想定以上に取れていました。よく分かりませんね。
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