満貫未満の和了得点方式

1. 導入

1.1. 天井関数の拡張

　実数$${x}$$について、$${x}$$以上である整数の最小値は、いわゆる天井関数を用いて$${\mathrm{ceil}(x)}$$と表現される。
　すなわち、その記号的定義は次のようになる。

$$
\mathrm{ceil}(x)=\min\{n\in\Z\mid{x}\le{n}\}
$$

　筆者は、実数$${\alpha>0,\space{x}}$$について、$${x}$$以上である$${\alpha}$$の倍数の最小値が表現可能になるように、天井関数を拡張したい。対数の表記を参考にしつつ、拡張した天井関数を次のように定義する。

$$
\mathrm{ceil}_\alpha{x}=\min\{\alpha{n}\in{\alpha\Z}\mid{x}\le\alpha{n}\}
$$

　このとき、$${\mathrm{ceil}_\alpha{x}}$$について、$${\alpha}$$を基準と称し、$${x}$$を対象と称する。
　また、元々の天井関数は$${\mathrm{ceil}_1x}$$と表現し直すことができる。

1.2. 基本関係式

　満貫未満の和了得点方式についての基本関係式を表現するために、以下の概念を導入する。

・当事人数$${m}$$：一度の和了に際して点数の授受に関与し得る人数の最大値
・荘家人数$${\omega}$$：当事人数の内で荘家に該当する人数の値
・散家支出$${K}$$：散家の摸和に対する各散家の支出の値
・荘家支出$${E}$$：散家／荘家の摸和に対する各荘家／各家の支出の値
・散家放銃支出$${F_K}$$：散家の攏和に対する放銃者の支出の値
・荘家放銃支出$${F_E}$$：荘家の攏和に対する放銃者の支出の値
・散家付随支出$${S_K}$$：散家の攏和に対する非放銃者の支出の値
・荘家付随支出$${S_E}$$：荘家の攏和に対する非放銃者の支出の値
・対応記号$${\sim}$$：同様の和了における収入の合計同士を結ぶ記号
・近似記号$${\simeq}$$：左右の近似または等価を保証する対応記号の変種
・等号$${=}$$：左右の等価を保証する対応記号の変種

　このとき、基本関係式は次のように表現される。

散家：
$${(m-\omega-1)\times{K}+\omega\times{E}\\\sim{F_K}+(m-2)\times{S_K}}$$

荘家：
$${(m-1)\times{E}\\\sim{F_E}+(m-2)\times{S_E}}$$

2. 単位方式

2.1. 包含方式

　当該方式を表現するために、以下の概念を導入する。

・連底$${p}$$：符底と加符と小符を合計した値
・合翻数$${v}$$：場揃と役と懸賞牌の翻数を合計した値
・内基準値$${\theta}$$：連底を対象とする天井関数の基準の値
・外基準値$${\phi}$$：一度の和了に際して授受される点数の最小単位
・散家係数$${\kappa}$$：例えば幺二式の「幺」に相当する値
・荘家係数$${\epsilon}$$：例えば幺二式の「二」に相当する値
・加算係数$${a}$$：1本場の摸和において各家が追加で支出する点数の値
・本場数$${t}$$：ある和了が何本場に成立したかを示す値

　当該方式を簡潔に表現するために、基本点数$${\varGamma}$$を次のように定義する。

$$
\varGamma=2^v\mathrm{ceil}_\theta{p}
$$

　このとき、基本関係式に基づいて、当該方式は次のように表現される。

散家：
$${(m-\omega-1)\times(\mathrm{ceil}_\phi\kappa\varGamma+at)\\+\omega\times(\mathrm{ceil}_\phi\epsilon\varGamma+at)\\\simeq\mathrm{ceil}_\phi((m-\omega-1)\kappa+\omega\epsilon)\varGamma\\+(m-1)at}$$

荘家：
$${(m-1)\times(\mathrm{ceil}_\phi\epsilon\varGamma+at)\\\simeq\mathrm{ceil}_\phi(m-1)\epsilon\varGamma\\+(m-1)at}$$

　更に、常用基本点数$${G}$$を次のように定義する。

$$
G=2^v\mathrm{ceil}_{10}p
$$

　ここで$${\omega=1,\space\kappa=1,\space\epsilon=2,\space\theta=10,\space\phi=100}$$と仮定すれば、加算係数を$${a}$$とする$${m}$$人対戦の$${t}$$本場における連底$${p}$$かつ合翻数$${v}$$の和了について、以下のような定式を得ることができる。

散家：
$${(m-2)\times(\mathrm{ceil}_{100}G+at)\\+\mathrm{ceil}_{100}2G+at\\\simeq\mathrm{ceil}_{100}mG\\+(m-1)at}$$

荘家：
$${(m-1)\times(\mathrm{ceil}_{100}2G+at)\\\simeq\mathrm{ceil}_{100}2(m-1)G\\+(m-1)at}$$

2.2. 係数除外方式

　基本関係式に基づいて、当該方式は次のように表現される。

散家：
$${(m-\omega-1)\times(\kappa\mathrm{ceil}_\phi\varGamma+at)\\+\omega\times(\epsilon\mathrm{ceil}_\phi\varGamma+at)\\=((m-\omega-1)\kappa+\omega\epsilon)\mathrm{ceil}_\phi\varGamma\\+(m-1)at}$$

荘家：
$${(m-1)\times(\epsilon\mathrm{ceil}_\phi\varGamma+at)\\=(m-1)\epsilon\mathrm{ceil}_\phi\varGamma\\+(m-1)at}$$

　ここで$${\omega=1,\space\kappa=1,\space\epsilon=2,\space\theta=10,\space\phi=100}$$と仮定すれば、加算係数を$${a}$$とする$${m}$$人対戦の$${t}$$本場における連底$${p}$$かつ合翻数$${v}$$の和了について、以下のような定式を得ることができる。

散家：
$${(m-2)\times(\mathrm{ceil}_{100}G+at)\\+2\mathrm{ceil}_{100}G+at\\=m\mathrm{ceil}_{100}G\\+(m-1)at}$$

荘家：
$${(m-1)\times(2\mathrm{ceil}_{100}G+at)\\=2(m-1)\mathrm{ceil}_{100}G\\+(m-1)at}$$

2.3. 単純倍加方式

　当該方式を表現するために、以下の概念を導入する。

・最小合翻数$${v_0}$$：ある点数体系において適用可能な合翻数の最小値

　このとき、基本関係式に基づいて、当該方式は次のように表現される。

散家：
$${(m-\omega-1)\times(\kappa\cdot2^{v-v_0}\mathrm{ceil}_\phi2^{v_0}p+at)\\+\omega\times(\epsilon\cdot2^{v-v_0}\mathrm{ceil}_\phi2^{v_0}p+at)\\=((m-\omega-1)\kappa+\omega\epsilon)\cdot2^{v-v_0}\mathrm{ceil}_\phi2^{v_0}p\\+(m-1)at}$$

荘家：
$${(m-1)\times(\epsilon\cdot2^{v-v_0}\mathrm{ceil}_\phi2^{v_0}p+at)\\=(m-1)\epsilon\cdot2^{v-v_0}\mathrm{ceil}_\phi2^{v_0}p\\+(m-1)at}$$

　さて、実数$${A>0,\space{B>0},\space{C}}$$について、一般に以下の関係が成立する。

$$
A\mathrm{ceil}_BC=\mathrm{ceil}_{AB}AC
$$

　このとき、基本関係式に基づいて、当該方式は次のように変形される。

散家：
$${(m-\omega-1)\times(\kappa\cdot2^v\mathrm{ceil}_{\frac\phi{2^{v_0}}}p+at)\\+\omega\times(\epsilon\cdot2^v\mathrm{ceil}_{\frac\phi{2^{v_0}}}p+at)\\=((m-\omega-1)\kappa+\omega\epsilon)\cdot2^v\mathrm{ceil}_{\frac\phi{2^{v_0}}}p\\+(m-1)at}$$

荘家：
$${(m-1)\times(\epsilon\cdot2^v\mathrm{ceil}_{\frac\phi{2^{v_0}}}p+at)\\=(m-1)\epsilon\cdot2^v\mathrm{ceil}_{\frac\phi{2^{v_0}}}p\\+(m-1)at}$$

　ここで$${\omega=1,\space\kappa=1,\space\epsilon=2,\space\phi=100,\space{v_0=3}}$$と仮定すれば、加算係数を$${a}$$とする$${m}$$人対戦の$${t}$$本場における連底$${p}$$かつ合翻数$${v}$$の和了について、以下のような定式を得ることができる。

散家：
$${(m-2)\times(2^v\mathrm{ceil}_{12.5}p+at)\\+2\cdot2^v\mathrm{ceil}_{12.5}p+at\\=m\cdot2^v\mathrm{ceil}_{12.5}p\\+(m-1)at}$$

荘家：
$${(m-1)\times(2\cdot2^v\mathrm{ceil}_{12.5}p+at)\\=2(m-1)\cdot2^v\mathrm{ceil}_{12.5}p\\+(m-1)at}$$

3. 準拠包含単位方式

3.1. 同語方式

　当該方式を表現するために、以下の概念を導入する。

・標準人数$${s}$$：点数を流用する目的で当事人数とは別に想定する人数の値

　このとき、基本関係式に基づいて、当該方式は次のように表現される。

散家：
$${(m-\omega-1)\times(\mathrm{ceil}_\phi\kappa\varGamma+at)\\+\omega\times(\mathrm{ceil}_\phi\epsilon\varGamma+at)\\\sim\mathrm{ceil}_\phi((s-\omega-1)\kappa+\omega\epsilon)\varGamma\\+(m-1)at}$$

荘家：
$${(m-1)\times(\mathrm{ceil}_\phi\epsilon\varGamma+at)\\\sim\mathrm{ceil}_\phi(s-1)\epsilon\varGamma\\+(m-1)at}$$

　ここで$${\omega=1,\space\kappa=1,\space\epsilon=2,\space\theta=10,\space\phi=100}$$と仮定すれば、加算係数を$${a}$$として標準人数を$${s}$$とする$${m}$$人対戦の$${t}$$本場における連底$${p}$$かつ合翻数$${v}$$の和了について、以下のような定式を得ることができる。

散家：
$${(m-2)\times(\mathrm{ceil}_{100}G+at)\\+\mathrm{ceil}_{100}2G+at\\\sim\mathrm{ceil}_{100}sG\\+(m-1)at}$$

荘家：
$${(m-1)\times(\mathrm{ceil}_{100}2G+at)\\\sim\mathrm{ceil}_{100}2(s-1)G\\+(m-1)at}$$

3.2. 等分方式

　基本関係式に基づいて、当該方式は次のように表現される。

散家：
$${(m-\omega-1)\times(\mathrm{ceil}_\phi\frac{s-1}{m-1}\kappa\varGamma+at)\\+\omega\times(\mathrm{ceil}_\phi(\epsilon+\frac{s-m}{m-1}\kappa)\varGamma+at)\\\simeq\mathrm{ceil}_\phi((s-\omega-1)\kappa+\omega\epsilon)\varGamma\\+(m-1)at}$$

荘家：
$${(m-1)\times(\mathrm{ceil}_\phi\frac{s-1}{m-1}\epsilon\varGamma+at)\\\simeq\mathrm{ceil}_\phi(s-1)\epsilon\varGamma\\+(m-1)at}$$

　ここで$${\omega=1,\space\kappa=1,\space\epsilon=2,\space\theta=10,\space\phi=100}$$と仮定すれば、加算係数を$${a}$$として標準人数を$${s}$$とする$${m}$$人対戦の$${t}$$本場における連底$${p}$$かつ合翻数$${v}$$の和了について、以下のような定式を得ることができる。

散家：
$${(m-2)\times(\mathrm{ceil}_{100}\frac{s-1}{m-1}G+at)\\+\mathrm{ceil}_{100}\frac{s+m-2}{m-1}G+at\\\simeq\mathrm{ceil}_{100}sG\\+(m-1)at}$$

荘家：
$${(m-1)\times(\mathrm{ceil}_{100}\frac{2(s-1)}{m-1}G+at)\\\simeq\mathrm{ceil}_{100}2(s-1)G\\+(m-1)at}$$

3.3. 按分方式

　基本関係式に基づいて、当該方式は次のように表現される。

散家：
$${(m-\omega-1)\times(\mathrm{ceil}_\phi\frac{(s-\omega-1)\kappa+\omega\epsilon}{(m-\omega-1)\kappa+\omega\epsilon}\kappa\varGamma+at)\\+\omega\times(\mathrm{ceil}_\phi\frac{(s-\omega-1)\kappa+\omega\epsilon}{(m-\omega-1)\kappa+\omega\epsilon}\epsilon\varGamma+at)\\\simeq\mathrm{ceil}_\phi((s-\omega-1)\kappa+\omega\epsilon)\varGamma\\+(m-1)at}$$

荘家：
$${(m-1)\times(\mathrm{ceil}_\phi\frac{s-1}{m-1}\epsilon\varGamma+at)\\\simeq\mathrm{ceil}_\phi(s-1)\epsilon\varGamma\\+(m-1)at}$$

　ここで$${\omega=1,\space\kappa=1,\space\epsilon=2,\space\theta=10,\space\phi=100}$$と仮定すれば、加算係数を$${a}$$として標準人数を$${s}$$とする$${m}$$人対戦の$${t}$$本場における連底$${p}$$かつ合翻数$${v}$$の和了について、以下のような定式を得ることができる。

散家：
$${(m-2)\times(\mathrm{ceil}_{100}\frac{s}mG+at)\\+\mathrm{ceil}_{100}\frac{2s}mG+at\\\simeq\mathrm{ceil}_{100}sG\\+(m-1)at}$$

荘家：
$${(m-1)\times(\mathrm{ceil}_{100}\frac{2(s-1)}{m-1}G+at)\\\simeq\mathrm{ceil}_{100}2(s-1)G\\+(m-1)at}$$

• 案内：以下の記事も併せて読まれたい。