確率のパラドックスの正体
有名な確率のパラドックスの問題として、モンティーホール問題と三囚人問題がある。
この２つの問題は、「3つの選択肢があり、そのうち2つの中から1つだけがハズレだと明かされる」という共通構造を持つ。
明かされたハズレを取り除いた、残りの確率が
各々 $${\frac{1}{2}}$$
ではなく、
$${\frac{1}{3}}$$ と $${\frac{2}{3}}$$
というのが確率のパラドックスとされる所以である。
実は、どちらも正解である。
確率の求め方は2つある
前者は、ラプラスの確率(客観確率)と呼ばれ、高校数学で学ぶ確率であり、
後者は、主観確率と呼ばれ、ベイズの定理を使って、情報を確率に変える方法が存在する。
後者がより正確な確率となるが、情報が正しいという前提条件のもとで成立する。
これが主観と呼ばれる理由である。
くじ箱を使ったそれぞれの求め方の違い
三囚人問題をくじ箱を使って説明する。情報を聞き出したあとの、くじ箱の操作2のみ異なる。
くじ箱の操作, ラプラスの確率の場合
囚人A, B, Cを同じ大きさの紙に書き出し、透明な箱にいれる
Aが看守から「B, Cのうち、死刑になるのはC」と情報を手に入れると、
箱からCを取り出す箱の中が見えないようにする
くじ箱の操作, 主観確率の場合
囚人A, B, Cを同じ大きさの紙に書き出し、透明な箱にいれる
Aが看守から「B, Cのうち、死刑になるのはC」と情報を手に入れると、
箱からB, Cを取り出して、テープでくっつけて、Bと書き換え、箱に戻す
(ベイズの定理に基づく操作)箱の中が見えないようにする
ラプラスの確率では、箱の中に入っている2枚の紙(A, B)が取り出される確率は、同様に等しいので $${\frac{1}{2}}$$ であるが、
主観確率では、紙Bの方が2倍大きいので、Aより引かれる確率は2倍であるとし、それぞれ $${\frac{1}{3}}$$ と $${\frac{2}{3}}$$ と考えられる。
まとめ
ある試行における確率の求め方は2種類ある
ラプラスの確率 (客観確率)
主観確率
高校数学で学ぶ確率はラプラスの確率のみ
主観確率では、ベイズの定理を使って、情報を確率に変える事ができるが、正しいという条件のもとでのみ成立する
(間違っている場合は $${\frac{1}{2}}$$ であるということではない。そもそもその間違っているという前提が成立しない)