漸化式が苦手な方へ伝えたい【高校数学】

気を付け、礼、お願いします！

今回で２回目の投稿となります。今回は数学ⅡBにおいてメインとなる、ベクトル、数列のうち、数列分野の漸化式について少し話していこうかと思います。数学ⅡBは難易度が上がり、つまずいてしまう学生も少なくありません。ですが、コツをつかみ、解法を覚えていけば問題ないので怖がらないことが大切です。

１，漸化式って何？

漸化式とは簡単に言うと数列を式に表したものです。例えば、数列　　{A(n)}    = 1,2,3,4,5,6,.........n　漸化式    A(1)=1       ,A(n+1)  = A(n)+1といったように、n項とn+1項の関係を式に表しています。初項を定めてしまえば、A(1)を利用して、漸化式からA(2)がもとまります。A(2)が求まれば、A(3)が求まります。このようにして、数列を式に表したものが漸化式です。

２、漸化式から,数列を求める。（基本形）

２−１　、等差数列

【例題】A(n+1) = A(n) + 2    , A(1)=1    
　　A(n)をnについての式で表せ。

漸化式の形を見て、これは等差数列を表す漸化式であることがわかると思います。わからない人は、漸化式を利用して数列を書き出してみましょう。
{A(n)} = 1,3,5,7,9,11,13.......
書いてみたら、一目瞭然ですね。初項が１、公差が２の等差数列になっています。
等差数列の表し方は、
  A(n) = 1+2(n-1)  [（初項）　＋　（公差）　×　(n-1)   ]
となります。また、この公式は覚えづらいので、次のやり方をおすすめします。
  A(n)=2n-1           [　（公差）×　ｎ　＋　（調整）　]
詳しく解説しますね。まず、増え方、つまり公差をｎ倍します。この部分は不変なので、最初に書いてしまいます。そしたら、あとは微調整をします。明確に言うと、初項の値を利用します。A(n)=2n ..いまここまでわかっていますよね？そしてら、ｎ＝１を代入してみましょう。そしたら、A(1)=2..　となります。問題で与えられたA(1)は１なので、A(1)＝１になるように、A(n)=2nから−１します。
　よってA(n)=2n-1　が答えになります。以上が等差数列型の漸化式の解法です。

２−２　、　等比数列

【例題】A(1)=3    ,    A(n+1) = 2A(n)
　　　A(n)をnについての式で表せ。
この形は、等比数列になります。実際に書いてみると、
　　{A(n)}  =  3,6,12,24,48....
このようになります。A(n)の係数の２が公比になります。等比数列は特に話すこともないですね。等比数列は、
    A(n) = 3×2^(n-1) 　　　[　（初項）×　（公比）^(n-1)     ←(n-1乗)]
となります。ｎ乗ではなく、ｎ−１乗であるこがポイントです。

２−３　、　階差数列

【例題】A(1) = 1   ,  A(n+1)=A(n) + n

階差数列の形は、＋ｎの部分があることが特徴です。仮に＋2nや＋n^2だとしても階差型になります。数列を書き出してみると、
{A(n)} =　1,2,4,7,11,16...
このようになります。ここで重要なのが、数列の増え方が、＋１、＋２、＋３、、と増えていっていることです。階差数列とは、数列の増え方が数列になっている数列のことになりますね。
A(n)=A(1) + Σ{k=1}^{n-1} k   [（初項）＋（１からn-1までの和）]
で、階差数列はもとめられます。Σといったら、k=1からnまでの和を取ることが多いですが、階差数列はn-1までの和をとります。意識しましょう。

今回は基本形の、等差、等比、階差数列の説明をしてここまでとします。

気を付け、礼、ありがとうございました！