行列の固有値と固有ベクトル

こんばんは！

※殴り書き・メモ程度に書きます．
大学数学・線形代数 / 行列

定義

任意の正方行列$${A}$$に対して，条件$${ A\vec{p} = \lambda \vec{p}  (ただし，\vec{p}\ne \vec{0})}$$を満たすような，実数のスカラー値$${\lambda}$$およびベクトル$${\vec{p}}$$が存在するとき，
$${\lambda}$$を$${A}$$の固有値，$${\vec{p}}$$を固有値$${\lambda}$$に属する$${A}$$の固有ベクトルという．

※ノート※
正方行列：行・列の数が同じである「行列」である
零行列：すべての要素成分が「0」であるような「行列」
固有値：行列で構成される積の等式(上記式)に対して，同じような計算値ができる「スカラー値」である
固有ベクトル：上記式を満たすような「ベクトル」である．固有値が複数ある場合は，固有ベクトルは各固有値に対して存在する．

*ベクトル：成分が「1行」or「1列」分しかない
*行列：成分が複数行・複数列にわたることがある；ベクトルの拡張

一般解

※ここでは，簡単のため，まずは2行・2列の正方行列の場合を説明するが，3行・3列以上の場合も同様に求めることができる．

1. 固有値

固有値・固有ベクトルの定義より，$${ A\vec{p} = \lambda \vec{p}…(1)}$$
ここで，

$$
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad \vec{p} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \ne \vec{0}
$$

とおいて，定義式に代入すると，

$$
A\vec{p} = \lambda \vec{p} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
$$

展開して，一度行列から連立方程式に戻してみると，

$$
\begin{pmatrix} ax+cy \\ bx+dy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x \\ \lambda y \end{pmatrix} \Leftrightarrow 
\begin{equation*} \left\{ \, \begin{aligned} & ax+cy=\lambda x \\ & bx+dy=\lambda y \end{aligned} \right. \end{equation*}
$$

ここで，$${x,y}$$の係数についてまとめ，行列に戻し，また$${x,y}$$について解くと，

$$
\begin{equation*} \left\{ \, \begin{aligned} & (a-\lambda)x+cy=0 \\ & bx+(d-\lambda)y=0 \end{aligned} \right. \end{equation*} …(2)
\Rightarrow
\begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
$$

このとき，行列$${\begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{pmatrix}}$$が「正則である」と仮定してみる．すると，逆行列が存在することになるので，以下のように計算できる．

$$
\therefore \vec{p} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{pmatrix} ^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{0}
$$

といったように計算でき，$${\vec{p}=\vec{0}}$$となってしまって，前提条件に矛盾してしまう．
したがって，固有ベクトル$${\vec{p}}$$は，必ず正則でない($${\vec{p} \ne \vec{0}}$$)．すなわち，行列式の値が0となることを意味する．
ゆえに，固有値を求める方程式；特性方程式は以下の通り．

［重要］特性方程式

$$
\begin{vmatrix}\ a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{vmatrix} = 0
$$

※注釈 - 行列の正則と逆行列，および行列式について
以下，⇔は「必要十分条件」を表します．
(1) 行列Aは正則である ⇔ 行列Aは逆行列をもつ ⇔ det(A) ≠ 0
(2) 行列Aは正則でない ⇔ 行列Aは逆行列をもたない ⇔ det(A) = 0

2. 固有ベクトル

固有ベクトルについては，例題を解いてもらった方が分かりやすいので省略します！(ごめんなさい笑)

例題

［問題］
以下に示す行列$${A}$$の固有値を求め，各固有値に属する固有ベクトルを求めよ．

$$
A=\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}
$$

［解答］
順序はいたってシンプルです．
(1) 特性方程式を解き，固有値を求める
(2) 各固有値に属する固有ベクトルを求める

まず，特性方程式により，固有値は

$$
\begin{vmatrix}\ 5-\lambda & 2 \\ -3 & -2-\lambda \end{vmatrix} =(5-\lambda)(-2-\lambda)+6=(\lambda-5)(\lambda+2)+6=0\\\lambda^2-3\lambda-10+6=\lambda ^2-3\lambda-4=(\lambda-4)(\lambda+1)=0\\\therefore \lambda = 4, -1
$$

と求まる．

(1) $${\lambda = 4}$$のとき
一般解の説明に用いた方程式より，

$$
\begin{equation*} \left\{ \, \begin{aligned} & ax+cy=\lambda x \\ & bx+dy=\lambda y \end{aligned} \right. \end{equation*}
\Rightarrow
\begin{equation*} \left\{ \, \begin{aligned} & 5x+2y=4x \\ & -3x-2y=4y \end{aligned} \right. \end{equation*}
$$

上下いずれの式も，$${x=-2y}$$となる．すなわち，任意の実数$${s}$$を用いれば，$${y=s}$$のとき$${x=-2s}$$になるということであるので，固有ベクトル$${\vec{p}}$$は

$$
\vec{p} = s\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} (sは0でない任意の実数)
$$

※注釈
任意の実数$${s}$$をおきかえれば，固有ベクトルはいくらでも存在します．たとえば，符号を入れ替えた$${\vec{p} = s\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}}$$も同様に解です．

(2) $${\lambda = -1}$$のとき

(1)と同様にすればよい．

$$
\begin{equation*} \left\{ \, \begin{aligned} & 5x+2y=-x \\ & -3x-2y=-y \end{aligned} \right. \end{equation*}
$$

いずれの式からも，$${y=-3x}$$が求まる．任意の実数$${s}$$を用いれば，$${x=s}$$のとき$${y=-3s}$$であるので，固有ベクトル$${\vec{p}}$$は

$$
\vec{p} = s\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} (\forall s, s\ne0  \mathrm{and}  s\in\mathbb{R})
$$

おわりに

参考文献とは異なる解き方をしている箇所があります．
ある程度の参考程度に読んでいただければ幸いです！

何か間違いなどありましたらお知らせください．
ここまで読んでいただきありがとうございました！

参考文献

1. 行列の固有値・固有ベクトルの定義と具体的な計算方法 / 高校数学の美しい物語
   https://manabitimes.jp/math/1008

2. LIBRARY 工学基礎&高専TEXT「線形代数」 / 河東 泰之 監修，数理工学社
   第5章 固有値と対角化，pp.150-151
   https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=978-4-86481-003-6&y=2013