平均値の定理の高校での扱いについて

　これも前から気になっている、平均値の定理の、高校での扱いについてです。

　高校数学のネタです。数学が苦手とおっしゃるかたには申し訳ございません。興味をお持ちくださるかたはご覧くださいませ。また、TeXは使えないと思いますので、式が見づらいというのもご容赦ください（使えるのかも知りませんけど、使い方がわかりません）。

　いまの学習指導要領を知りませんが、平均値の定理は、理系しか習わないかもしれません。

　実数の関数f(x)が、実数aからbまでのあいだで、微分可能だとします。このとき
　(f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c)　となるような実数cが、a<c<bの範囲で、存在する。
と主張するものです。

　これの、まず教科書に載っている応用例が、気になるのです。

　多くの教科書は、つぎのような例を挙げています。

　問題　0<a<bのとき、以下の不等式を証明せよ。

　log b-log a<(b-a)/a

　もちろん、平均値の定理を使わせて、この場合、f(x)=log xとして、f’(x)=1/xであることを用いて、証明させるわけですけれども。

　そのさい、a<c<bを使わせるわけですが、これは、あくまで、「aとbのあいだに、そうなるcが存在する」ということしか言っていません。aより小さいところ、あるいは、bより大きいところに、そうなるcが存在するという可能性もあります。

　じゃあ、この証明は、成立しないのじゃないの？と、いつも思いながら、教師の時代は、やっていました。

　これ、要するに、logという関数が、常に上に凸だから、成り立っているようなものであって、いかがなものかと思うのですが、みなさん何とも思わないのでしょうかね。

　こんな感じで、小学校の算数の教科書でも、中学校の数学の教科書でも、突っ込みどころはたくさんあるんですけどね。

　ここまでお読みくださり、（いっしょに考えてくださり、）ありがとうございました。