【ポケポケ】1/2000の確率のゴッドパックを2000回引くとき、少なくとも1回当たる確率は99%？
ポケポケで「ゴッドパック」を引いたことがありますか？
ひたすらレアカードが出てくる、うらやましい限りのパックです！
ゴッドパックが出る確率は1/2000だそうです。
では、2000回引いたら少なくとも1回以上当たる確率はどの程度でしょうか？
60%?、90%?、99%、100%？
予想しながら、読み進めてみてください！
計算方法
まず、1回引いたときにゴッドパックが当たらない確率を計算します。
これは以下のように求められます。
$$
1 - \frac{1}{2000}
$$
次に、2000回引いた場合、すべて「当たらない」確率は以下の式で表されます。
$$
\left(1-\frac{1}{2000}\right)^{2000}
$$
少なくとも1回当たる確率は、この当たらない確率を1から引けばよいので、
$$
1-\left(1-\frac{1}{2000}\right)^{2000}
$$
という式になります。
計算結果
この式を計算すると、2000回引いたときに少なくとも1回ゴッドパックが当たる確率は約63.2%になりました。
どう感じたでしょうか？
確率の逆数分だけカードを引けば1回くらいは当たりそうなのに、1/3程度の確率で外れてしまうのです。
私は最初この計算をして低い！！っと思いました。
グラフ化してみる
これで終わってはなぜそうなるかわからないので、1/2000の確率2000回の2000を変数としてグラフ化してみましょう。
ここで、$${1/n}$$の確率であたるのものを$${n}$$回引くということにします。
そのときの少なくとも1回以上当たる確率$${P_n}$$とおくと、
$$
P_n=1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}
$$
と表すことができます。
ではグラフ化してみましょう。
グラフを見ると、$${n}$$が増加すると、急激に確率が減少し、$${n=2000}$$付近ではほとんど値は変わりません。
$${n}$$を2～20の範囲でみると以下のようになっています。
$${n=20}$$の段階でかなり$${n=2000}$$の値に近いことが読み取れます。
極限を取ってみる
どうやら、値は収束しそうなので、それを確かめてみましょう。
$$
\lim_{n \to \infty} P_n=\lim_{n \to \infty}1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}
$$
計算は省略しますが、ネイピア数の定義である$${\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e}$$となるのを利用して、
$$
\lim_{n \to \infty} P_n=1-\frac{1}{e}
$$
となります。これが、約63.2%という数値にあたります。
こんなところにネイピア数が出現するのですね。面白いです！（ちなみに$${e}$$は複利計算から出てきた考え方だそうです。）
まとめ
ゴッドパック出現確率1/2000を2000回引くと、63.2%の確率で少なくとも1回当たることが分かりました。
ここで学びを生かしゴッドパックは何日引くとでてくるのか計算してみましょう。
ポケポケでは、無料版で1日2パックは必ず引けるようになっています。イベントでもパックは引けるので、1日3パックは引けると仮定しましょう。
計算すると、約2年パックを引き続ければ63.2%の確率で少なくとも1回ゴッドパックはでてきます。
ということで、まだゴッドパックがでていない皆さん、それが普通です笑。まだリリースして2か月程度しかたっていないのですから。
この性質を知っておけば、確率ゲームやガチャをより冷静に楽しむことができるかも？しれません。
Good Luck！
おまけ
書いていて、最後書いていて気づいたのですが、2000回もパックを引いたら10,000ptのパック開封ポイントがつくので、1,250ptが2枚、最高の2,500ptが3枚揃えることができるので、ゴッドパックもどきは100%できます、、、()