宇宙のロマン、それは時間依存シュレディンガー方程式（その３）
その２からつづくよ。ハミルトン力学は、高校物理では習わないとはいうものの、いわゆる古典物理学のほうに分類されています。
力学的エネルギー保存則（中学理科！）を、偏微分（おお大学微積…）で語りなおしたようなものですからね。
ハミルトン関数 ＝ 運動エネルギー ＋ ポテンシャルエネルギー
神の作り給いしバランスシート（力学の帳簿というところかな）でございます。
神という名の帳簿係
ところがこの神様、小銭の計算については緩いところがあります。
本当です。不確定性原理と呼ばれています。
たとえば ➀ 運動量 $${p}$$ と位置 $${x}$$ のペアについて、その正確な値を双方同時には神でさえ帳簿チェックができません。
② エネルギー $${E}$$ と時間 $${t}$$ のペアについても、やはり双方同時には帳簿のチェックができないのです。
どうしてできないのかというと…
そこをまともに語りだすと長くなってしまうので、物理学者たちは「不確定性原理」と名付けて済ませています。
♪ はみ～ると～ん、あーみーっ！
ハミルトン力学、振り返ってみましょう。
ハミルトン関数 ＝ 運動エネルギー ＋ ポテンシャルエネルギー
この式は、神様が完全無欠の帳簿係さんという前提での式です。
しかし実際は（全体での値は正確なのだけど）こくわずかな金額で誤差がどうしても生じてしまう、そういう帳簿係さんでした。
人間的ですね。人間の世界では、帳簿に「現金過不足」という項目をあらかじめ用意して、全体のあるべき値と、計算値の微細な食い違いについては、その項目に押し込んで「誤差ってどうしても生じるからねー」で済ませています。
量子力学の帳簿では、波動関数 $${Ψ(x, t)}$$ が今取り上げた「現金過不足」欄の役を務めています。
くだんの数式 ⇩ にですね…
ハミルトン関数 ＝ 運動エネルギー ＋ ポテンシャルエネルギー
波動関数 $${Ψ(x, t)}$$ をふりかけると、こんな式に変貌してくれるのですよ！
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帳簿でいうところの借方・貸方の両方に「現金過不足」にあたるものを巧く挟み込んだもの…と思えばいいです。
その名はディラック定数
ここにある $${ℏ}$$ がエネルギーの総量を表す…とさしあたって思い込んでくださると嬉しいです。
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ここが運動エネルギーで…
これがポテンシャルエネルギー。
マシリト博士もびっくり
おさらいしましょう。以下の…
ハミルトン関数 ＝ 運動エネルギー ＋ ポテンシャルエネルギー
これは「不確定性原理」が見出されるより前の時代の数式ですが、そこに $${Ψ(x, t)}$$ を、こうやって両辺に挟み込むことで…
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同原理対応の式に、かっこよくチェーンジ！できてしまうのです。
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もっとしゃんとしなさいヒーローなんだから！ つづく。
