エレン先生、フーリエ級数を小学生に教える
フーリエ級数というのがあります。数学です。こんなのです。
わかんない？ そうですか。どんな形をした周波であっても、sinθ や cosθ などの素朴な三角関数の組み合わせで再現できてしまうというものです。たとえば、
三角形のでこぼこ波形であっても、いくつものシンプルな三角関数を組み合わせることで再現できます。こんなんでもです。
どんな周波でも sinθ や cosθ とそのお仲間を揃えれば再現できてしまう…それって証明できるの？ ええできます。検索すれば証明法が出てきます。
ただ、検索してみたのですが「二進法」を使っての証明は見当たりませんね。
二進法とは、こんなのです。この表の左側が、私たちが普段使っている「１０進法」の数。右側が「２進法」による数です。
０と１の組み合わせをスイッチのオン／オフに置きかえてイメージしてください。
おっとなんだか波の形が浮かび上がってきたではありませんか。
ここで唐突ですが、てんびんの話に切り替わります。小学生のとき理科室で、こんな器具をいじったことはありませんか。
「てんびん」です。左のお皿にゴジラをのせて、右のお皿に分銅をだんだん載せていって、左右の傾きがなくなったとき、右のお皿にある分銅の重さ合計がゴジラの体重だよというの、皆さん実際にやったことがあると思います。
ここで問題です。ゴジラの体重が２０～３０グラムぐらいだとして、それを正確に測るためには、最低で何種類の分銅が要るでしょう？
「あ、こういうのなんか子どもの頃やったなあ」と思った方も少なくないと思います。答えを先に言うと、
１，２，４，８，１６の５種類
です。１グラムの分銅を右の皿に載せても、ゴジラののっかった左の皿はびくともしません。２グラムの分銅を追加しても１＋２＝３グラムだからやはり変化はなし。４グラムの分銅を加えると７グラムに。さらに８グラムの分銅を加えると１５グラム。えいっと１６グラムの分銅を加えると…おっと右に傾いてしまいました。ゴジラは３１グラムよりは軽いということです。
次に、右の皿から分銅をすべておろしてしまいましょう。そして今度は１６グラムつまり最も重い分銅から右の皿にのっけていくのです。
１６グラム
ゴジラのいる左の皿は動かない。そこで８グラムの分銅を右の皿にのっけてみると…
１６＋８＝２４グラム
おっとてんびんが右に傾いた！ ゴジラは２４グラムよりは軽いのです。
ここで８グラムの分銅を下ろして、代わりに４グラムの分銅を載せてあげましょう。
１６＋４＝２２グラム
おっと、ほぼ左右が平坦になった！しかしゴジラの載っている左側のほうがわずかに下にあるぞ。よし、右の皿に分銅を追加してみよう。２グラムのでどうだ？
２２＋２＝２４グラム
おっとっと今度は右の皿のほうがわずかに下になってしまったぞ。ならば２グラムの分銅を下ろして、代わりに１グラムのをのっけてみましょう。
２２＋１＝２３グラム
おお、今度はゴジラ（左側）と分銅たち（右側）がきれいに並んだ！
ということは、ゴジラの重さは２３グラムということです。これは中学入試の算数問題で頻出もいいところなので、覚えておくといいことがあるかもしれませんね。
１，２，４，８，１６の５種類
この組み合わせ、二進法で表してみましょう。
１，１０，１００，１０００，１００００
ピンとくる方もいらっしゃると思います。これらの二進法の値を組み合わせれば「１１」でも「１０１」でも「１０１０１」でも作れてしまうのです。
これね、こんな五種類でも同じことができます。
１ １０ １０１ １０１０ １０１０１
この五種類をうまく組み合わせれば「１１０」でも「１１０１０」でも作り出せます。「１１０」が欲しければ「１０１」に「１」を足せばいいし、「１１０１０」が欲しければ「１０１０１」に「１０１」を足せばいいのです。
どうしてこの五種類でも同じことができてしまうのかというと…めんどくさいので説明は省略。「一対一対応になっているのだからこうなるに決まってら！」と雄たけびをあげて済ませておきましょう。
さてこの
１ １０ １０１ １０１０ １０１０１
って、こんな風にも見えてきませんか。
そうです波です。ごく素朴な波。もし同じ幅のなかに「１」や「１０」や「１０１」や「１０１０」や「１０１０１」らが押し込まれたとしたら、右のものほど細かく振動する波が脳裏に浮かびます。
「１」と「０」が交互に並ぶ数列いろいろを、いろいろ工夫して足し算すると、どんな「１」「０」の並び方でも再現できるというのなら、これら基本波の組み合わせで、どんな複雑怪奇な波形でも再現できないわけがない！
こんな風に考えれば、フーリエ級数はさっさと理解できてしまうのです。ちなみに
１ １０ １０１ １０１０ １０１０１
０ ０１ ０１０ ０１０１ ０１０１０
この二列の組み合わせでもOKです。上がコサイン波で下がサイン波に当たりますね。これをもっと数式として書きやすいものにアレンジすると、
この有名な式になります。私がここまで説明した「１」「０」の組み合わせは、学習者の理解のためにあえて素朴なやり方で説明したものです。もっと解析的に波を扱う場合は、上の式のほうがいろいろ計算がラクになります。
［付記］「波の間隔ではなく幅が広がったり狭くなったりするのは『１』『０』の組み合わせで描けるわけ？」と思う方もいるでしょうが、描けます。二進法なのを多進法に換算して、一桁ごとに山あり谷ありの数列を思い描くのだと思い描ければ、難なく描けるとイメージできると思います。