多変数関数のニュートンフラクタル
どうも、108Hassiumです。
以前の記事で、「ニュートンフラクタル」というフラクタル図形を紹介しました。
ニュートンフラクタルは、ニュートン法というアルゴリズムにおいてどの初期値がどの値に収束するかで複素平面を彩色した際に現れるフラクタル図形です。
そしてニュートン法は$${f(z)=0}$$という形の方程式の解($${f(z)}$$の根)を見つけるアルゴリズムで、その内容は$${z_{n+1}=z_n-\frac{f(z_n)}{f'(z_n)}}$$という数列を計算するというものである、というのがニュートンフラクタルの概要です。
ニュートン法のような「$${f(z)}$$の根を求めるアルゴリズム」を「求根アルゴリズム」と呼び、以前の記事では他の求根アルゴリズムに対応するニュートンフラクタルの類似物を紹介したりもしました。
ところで、wikipediaのニュートン法の記事には他の求根アルゴリズムだけではなく、「多変数関数に対するニュートン法」についても書かれています。
というわけで、この記事では多変数関数のニュートン法とそれが生成するフラクタル図形を紹介したいと思います。
※多変数関数と言いつつ、今回紹介するものは2変数のものに限定します。
定義
まず、多変数関数のニュートン法で扱う関数は「$${m}$$次元のベクトルを変数として$${m}$$次元のベクトルを返す関数」です。
今までの記事では多変数関数は
$${f(x,y)=(x^3-3xy^2-x^2-y^2-1,3x^2y-y^3)}$$
・・・という書き方をしていましたが、この記事では以下のように書くことにします。
$${f(\mathbf{x})=\begin{pmatrix}x^3-3xy^2-x^2-y^2-1\\3x^2y-y^3\end{pmatrix}}$$
ただし、$${\mathbf x=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$$です。
要するに関数$${f}$$は$${\mathbf x=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$$という2次元のベクトルを受け取って$${\begin{pmatrix}x^3-3xy^2-x^2-y^2-1\\3x^2y-y^3\end{pmatrix}}$$という2次元ベクトルを返す関数である、ということです。
さて、多変数関数のニュートン法の漸化式は以下の通りです。
$${\mathbf{x_{n+1}}=\mathbf{x_n}-\partial f(\mathbf{x_n})^{-1}f(\mathbf{x_n})}$$
ここで、
$${\partial f(\mathbf{x_n})}$$は$${f(\mathbf{x_n})}$$のヤコビ行列
$${\partial f(\mathbf{x_n})^{-1}}$$は$${\partial f(\mathbf{x_n})}$$の逆行列
$${\partial f(\mathbf{x_n})^{-1}f(\mathbf{x_n})}$$は$${\partial f(\mathbf{x_n})^{-1}}$$と$${f(\mathbf{x_n})}$$の積
・・・です。
私の記事は基本的に高校レベルまでの知識があれば読めるように書いているのですが、今回は予備知識が多すぎて解説しきれないので、分からない部分は各自で調べるか理解を諦めて画像だけ流し見していってください。
さて、先程の式のままでは扱いにくいので少し式変形をします。
まず、$${f(\mathbf x)=\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}$$、$${\partial f(\mathbf{x_n})=\begin{pmatrix}X_x,X_y\\Y_x,Y_y\end{pmatrix}}$$}$$と略記します。
これを使って$${\mathbf{x}-\partial f(\mathbf{x})^{-1}f(\mathbf{x})}$$を計算すると、以下のようになります。
$${\mathbf{x}-\partial f(\mathbf{x})^{-1}f(\mathbf{x})\\=\mathbf{x}-\begin{pmatrix}X_x,X_y\\Y_x,Y_y\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}\\=\mathbf{x}-\frac{1}{X_xY_y-X_yY_x}\begin{pmatrix}Y_y,-X_y\\-Y_x,X_x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}\\=\mathbf{x}-\frac{1}{X_xY_y-X_yY_x}\begin{pmatrix}XY_y-YX_y\\YX_x-XY_x\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}x-\frac{XY_y-YX_y}{X_xY_y-X_yY_x}\\y-\frac{YX_x-XY_x}{X_xY_y-X_yY_x}\end{pmatrix}}$$
この式を利用することで、多変数関数のニュートン法における漸化式を作ることができるようになります。
例えば$${f(\mathbf{x})=\begin{pmatrix}x^3-3xy^2-x^2-y^2-1\\3x^2y-y^3\end{pmatrix}}$$の場合、$${\begin{pmatrix}X_x,X_y\\Y_x,Y_y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x^2-3y^2-2x,-6xy-2y\\6xy,3x^2-3y^2\end{pmatrix}}$$になるので漸化式は以下のようになります。
$${\begin{cases}x_{n+1}=x_n-\frac{(x_n^3-3x_ny_n^2-x_n^2-y_n^2-1)(3x_n^2-3y_n^2)-(3x_n^2y_n-y_n^3)(-6x_ny_n-2y_n)}{(3x_n^2-3y_n^2-2x_n)(3x_n^2-3y_n^2)-(-6x_ny_n-2y_n)(6x_ny_n)}\\y_{n+1}=y_n-\frac{(3x_n^2y_n-y_n^3)(3x_n^2-3y_n^2-2x_n)-(x_n^3-3x_ny_n^2-x_n^2-y_n^2-1)(6x_ny_n)}{(3x_n^2-3y_n^2-2x_n)(3x_n^2-3y_n^2)-(-6x_ny_n-2y_n)(6x_ny_n)}\end{cases}}$$
実例
$${\begin{pmatrix}x^3-3xy^2-x^2-y^2+a\\3x^2y-y^3+b\end{pmatrix}}$$という関数は、実は以前紹介した$${z^3-x^2-y^2+c}$$を2変数実関数として表したものです。
$${z^3-x^2-y^2+c}$$はジュリア集合が3回回転対称になるのが特徴的でしたが、ニュートンフラクタルにも同じ性質が受け継がれるようです。
$${\begin{pmatrix}x^3-3xy^2-x^2-y^2+a\\3x^2y-y^3+b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$$の解は$${a}$$と$${b}$$の組み合わせによっては9個になることもあるのですが、その場合もちゃんと9種類の解が求まっているようです。
ちなみに、2変数関数の根の個数を調べるにはdesmos等のグラフ描画ツールが便利です。
こんな風に$${X=0}$$と$${Y=0}$$のグラフを描き、交点の数を調べることで根の個数がわかります。
$${\begin{pmatrix}x^3-3xy^2-1\\3x^2y-y^3\end{pmatrix}}$$は、複素関数の$${z^3-1}$$と同じです。
どうやら$${f(\mathbf x)}$$が複素解析関数である場合、2変数関数としてのニュートンフラクタルは複素関数としてのニュートンフラクタルと同じ形になるっぽいです。
$${\begin{pmatrix}x^2+y^2+a\\2xy+b\end{pmatrix}}$$は分解型複素数の$${z^2+c}$$と同じですが、根がある場合は全然面白くないX字型になり、根が無い場合はグッチャグチャで訳分からない感じになるようでした。
以前の記事で「2次関数のニュートンフラクタルは面白くない」と説明しましたが、非解析関数でも2次式で表されるものは面白い形になりにくいようです。
ニュートンフラクタルがちゃんとフラクタルっぽくなる2次関数(広義)の例です。
以前「複素関数と分解型複素関数のハイブリッドみたいな関数」として紹介した、$${\begin{pmatrix}2x-\frac{x^3}{6}-y^2+a\\2y-\frac{x^2y}{2}+b\end{pmatrix}}$$のニュートンフラクタルです。
ジュリア集合と同様に、左側が複素数の2次関数、右側が分解型複素数の2次関数のニュートンフラクタルにちょっとだけ似ている気がします。
似てないこともあります。
おまけ：一般化ニュートンフラクタル
複素数のときと同様に、以下の漸化式で一般化ニュートンフラクタルを描画してみました。
$${\mathbf{x_{n+1}}=\mathbf{x_n}-a\partial f(\mathbf{x_n})^{-1}f(\mathbf{x_n})}$$
