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アインシュタインタイルを愛でる。とにかく愛でてみる。

珍ぬ

前回の記事は、毎年恒例のシリーズ企画の１６回目でした。

しかも、その前回の記事はシリーズ内シリーズで数回にわたる内容の一区切りでして、他の周辺を見渡せるようになりました。

そんななか、１ヶ月前に大変興味深いニュースが入ってまいりました。
日本テセレーションデザイン協会の代表でもある数学者の荒木義明さんのツイートでした。

はい？
アインシュタイン問題？

非周期にタイルを敷き詰める

ツイートがあったのは２０２３年３月２１日。
その後、さまざまな（おもに理系関係の）メディアでニュースになっております。

論文のタイトルは「An aperiodic monotile」。
訳すと「非周期性モノタイル」

非周期になるタイル敷き詰め、といえば、で真っ先に連想するのがペンローズタイルです。
ペンロースタイル（しかも、それを使用したボードゲーム）について、以前記事にしました。

ボードゲーム『Einstein（アインシュタイン）』を紹介した記事ですが、

アインシュタイン博士がテーマなのに
なぜペンローズタイルの敷き詰め？

その疑問が、今回のニュースでなんか納得しました。

「アイン」はドイツ語で「１」、「シュタイン」はドイツ語で「石」。
「アインシュタイン」＝「１つの石」……１種類のタイル……モノタイル、なのです。

この記事をあげるまさに昨日、さらなるツイートがありました。

こちらのブログ記事も熱気ムンムンなので、ぜひぜひ読んでみてください。


非周期的敷き詰めモノタイル「HAT」

長年探し続けていた「非周期的敷き詰めモノタイル」。
その実例となるタイルとは、こちら。

凸凹の１３辺をもつ多角形。
形状が帽子に似ているので「HAT」とよばれます。
このタイルを敷き詰めたのが下の図。

引用：An aperiodic monotile p.2
https://doi.org/10.48550/arXiv.2303.10798

上の図から「HAT」は、ある１種類の四角形が８個組み合わさった形状だとわかります。
さらにいえば、この四角形は、２つの直角三角形――しかも、正三角形を二等分した――の長辺をあわせた凧形（Kite）です。

直角三角形の３つの角の角度は、
３０°、６０°、９０°です。

今回は、「HAT」のタイル１枚だけを、愛でてみたいと思います。

２つの図形の合成？

論文「An aperiodic monotile」を眺めると、興味深い図がいくつかでてきます。
そのひとつが、以下の３．２図です。

引用：An aperiodic monotile p.21
https://doi.org/10.48550/arXiv.2303.10798

一番左が「HAT」です。
辺を２色に分けていますが、黒い辺の長さを１とすると、オレンジの辺の長さは$${\sqrt{3}}$$となります。

それぞれの色の辺のみを取り出して平行移動すると、オレンジの辺は右から２番めの図形（正三角形が４個組み合わせ）、黒い辺は１番右の図形（正三角形が８個の組み合わせ）になります。

さて、１番右の図形は、左側の凸っている箇所を取り除いてしまうと、正六角形になります。
それに合わせて、右から２番めの図形も合わせて取り除くと、正六角形を二等分した形状になります。


しかし、「HAT」も同じように上のような取り除き方をすると、（上のような正六角形などとくらべると）いびつになってしまいます。


さて、もう一度論文の３．２図を眺めてみると、左から２番めの図形（２つの凧形がつながったプロペラのような形状）が妙に気になります。
この図形は、「HAT」から取り除くことができます。

（中心点に１２０°回転すると、元の図形に重なる）見事な点対称図形が残ります。
取り除いた図形をいったん元に戻しまして、それぞれ分割した２つの図形を色分けすると、以下のようになります。

見た目、回転主翼と回転尾翼の２つを備えた「ヘリコプター」です。
基本的に、図形の名称は外辺の輪郭をとらえて名付けるので、ヘリコプターと呼ぶのははばかれますが、図形の特徴をあらわす例えとして使えるのでは、と思います。

こっちが本命？

「ヘリコプター」をみつけてから、あれこれ思案してみると、いろいろと気づきます。
またもや論文３．２図です。
オレンジの辺の図形です。
この図形の辺の長さを若干調整すると、他の図形との相関関係がみえてきました。

「HAT」は、右下の図形を左上の図形へ変形する際の途中であらわれる図形では？と考えます。

右下の図形と左下の図形それぞれにある青色の図形を１単位とすると、それぞれ４単位あります。
これらの単位図形を色分けすると以下のようになります。

下の方に単位図形を取り出しましたが、その中間にある図形が、まさに「HAT（ヘリコプター）」から取り出してきた回転尾翼です。

さらにさらに。

正六角形（上の図の左上）と「HAT（ヘリコプター）」の回転主翼に注目してみます。
すると、正六角形を構成している単位図形を変形、さらに回転移動すると、回転主翼になります。

さらにさらにさらに。

上図の下のように、回転主翼を回転尾翼の形状に三等分して色分けして、これまた単位図形を変形＆回転移動（結構頑張って突き抜ける）すると、別の正六角形（２つ上の図の右上）にねじれます。

結論。
面白い。

締め

というわけで、非周期的敷き詰めモノタイル「HAT」を１枚だけ愛でてみました。
１枚だけでも非常に鑑賞のしがいがありました。

もしかすると、まだまだ新たな発見があるかも知れません。
もうちょっと愛でてみます。

では。

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