数検1級 ★1 1次変換

問題

$${xyz}$$空間の$${1}$$次変換$${f:\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}2&1&0\\-1&3&1\\1&-2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$$によって直線$${x+2=\dfrac{3-y}{2}=2z-1}$$はどのような図形の移るか。その図形の方程式を求めよ。

解答

　計算過程自体はそこまで難しくない一次変換であるが、図形の移動が数学的な意義になる。それを意識しながら取り組みたい。

$${t}$$を実数とする。$${x+2=\dfrac{3-y}{2}=2z-1=t}$$とすると

$$
\begin{cases}
x+2=t\\
\dfrac{3-y}{2}=t\\
2z-1=t
\end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}
x=t-2\\
y=3-2t\\
z=\dfrac{t+1}{2}
\end{cases}
$$

と表すことができる。これを$${1}$$次変換$${f}$$によって移された直線上の点を$${(x_1,y_1,z_1)}$$とすると

$$
\begin{split}
\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}2&1&0\\-1&3&1\\1&-2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&0\\-1&3&1\\1&-2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}t-2\\3-2t\\\dfrac{t+1}{2}\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}2(t-2)+(3-2t)+0\\-(t-2)+3(3-2t)+(\dfrac{t+1}{2})\\(t-2)-2(3-2t)+2(\dfrac{t+1}{2})\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-\dfrac{13}{2}t+\dfrac{23}{2}\\6t-7\end{pmatrix}
\end{split}
$$

よって

$$
\begin{cases}
x_1=-1\\
y_1=-\dfrac{13}{2}t+\dfrac{23}{2}\\
z_1=6t-7
\end{cases}
$$

となり、これを整理すると$${x=-1,y=-\dfrac{13}{12}z+\dfrac{47}{12}}$$になり、これが求める方程式である。