数検1級 ★1 和積の公式

問題

$${sin20°\cdot sin40°\cdot sin60°\cdot sin80°}$$の値を求めなさい。

解答

和積公式を使った結果どの角度が残るかを意識。また、180°-αや90°-αを用いて残った非有名角を処理することも頭にいれる。

和積公式より

$$
\begin{split}
sin20°\cdot sin40°&=\dfrac{1}{2}\Bigl(cos(20°-40°)-cos(20°+40°)\Bigl)\\
&=\dfrac{1}{2}\Bigl(cos20°-cos60°\Bigl)\\
&=\dfrac{1}{2}\Bigl(cos20°-\dfrac{1}{2}\Bigl)
\end{split}
$$

よって、

$$
\begin{split}
sin20°\cdot sin40°\cdot sin60°\cdot sin80°&=\dfrac{1}{2}\Bigl(cos20°-\dfrac{1}{2}\Bigl)\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} sin80°\\
&=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Bigl(cos20°sin80°-\dfrac{1}{2}sin80°\Bigl)・・・①\\
\end{split}
$$

ここで和積公式より

$$
\begin{split}
cos20°sin80°&=\dfrac{1}{2}\Bigl(sin(20°+80°)-sin(20°-80°)\Bigl)\\
&=\dfrac{1}{2}\Bigl(sin100°+sin60°\Bigl)\\
&=\dfrac{1}{2}\Bigl(sin100°+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigl)\\
&=\dfrac{1}{2}\Bigl(sin80°+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigl)\\
\end{split}
$$

なので①に代入すると

$$
\begin{split}
\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Bigl(cos20°sin80°-\dfrac{1}{2}sin80°\Bigl)&=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Bigl\{\dfrac{1}{2}\Bigl(sin80°+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigl)-\dfrac{1}{2}sin80°\Bigl\}\\
&=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}\\
&=\dfrac{3}{16}\\
\end{split}
$$