数検1級 ★1 固有値

問題

次の$${4}$$次正則行列$${A}$$の固有値を全て求めなさい。

$${A=\begin{pmatrix}-4&0&0&3\\3&-1&0&-3\\0&0&-1&0\\-6&0&0&5\end{pmatrix}}$$

解答

　基本問題。定義通りに計算を進める。

$${E}$$を単位行列とする。

$$
\begin{split}
|λE-A|&=\begin{vmatrix}λ+4&0&0&-3\\-3&λ+1&0&3\\0&0&λ+1&0\\6&0&0&λ-5\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}λ+4&0&0&-3\\-3&λ+1&0&3\\0&0&λ+1&0\\0&2λ+2&0&λ+1\end{vmatrix}　(第2行×2を第4行に加えた)\\
&=(λ+4)\begin{vmatrix}λ+1&0&3\\0&λ+1&0\\2(λ+1)&0&λ+1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}0&0&-3\\0&λ+1&0\\2(λ+1)&0&λ+1\end{vmatrix}\\
&=(λ+4)(λ+1)^2\begin{vmatrix}λ+1&0&3\\0&1&0\\2&0&1\end{vmatrix}+18(λ+1)^2\\
&=(λ+4)(λ+1)^2(λ-5)+18(λ+1)^2\\
&=(λ-2)(λ+1)^3
\end{split}
$$

固有値を求める式$${|λE-A|=0}$$より$${λ=\underline{-1(3重固有値),2}}$$