ペケとジマのフーリエ･ラプラス解析 #5 フーリエ変換の性質と畳み込み
登場人物
ペケ
理系，学部2年．
メガネ
ジマ
文系，ペケの先輩．
メガネ
ジマ：ペケくゥん．前回紹介しきれなかった性質がいくつかあるから，今日はそれをやってもらうよぉー．
$$
\begin{align}
&\mathcal F[f(t-a)](\omega)=e^{-ia\omega}\mathcal F[f](\omega) \ (a\in\mathbb R)\\
&\mathcal F[f(at)](\omega)=\frac{1}{|a|}\mathcal F[f]\left(\frac{\omega}{a}\right) \ (a\in\mathbb R\backslash\{0\})\\
&\mathcal F[t^nf(t)](\omega)=\left(i\frac{\mathrm d}{\mathrm d\omega}\right)^n\mathcal F[f](\omega) \ (n\in\mathbb Z_{>0})\\
\end{align}
$$
ペケ：やってみます．
$$
\begin{aligned}
&(1)\\
&\mathcal F[f(t-a)](\omega)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(t-a)e^{-i\omega t}\mathrm dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-i\omega (u+a)}\mathrm du\\
& (u=t-a)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-i\omega a}e^{-i\omega u}\mathrm du\\
&=e^{-ia\omega}\mathcal F[f](\omega)\\
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&(2)a>0:\\
&\mathcal F[f(at)](\omega)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(at)e^{-i\omega t}\mathrm dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-i\omega (u/a)}\frac{\mathrm du}{a}\ (u=at)\\
&=\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-i(\omega/a)u}\mathrm du\\
&=\frac{1}{a}\mathcal F[f]\left(\frac{\omega}{a}\right)
\\
\\
&a<0:\\
&\mathcal F[f(at)](\omega)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(at)e^{-i\omega t}\mathrm dt\\
&=\int_{\infty}^{-\infty}f(u)e^{-i\omega (u/a)}\frac{\mathrm du}{a}\ (u=at)\\
&=-\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-i(\omega/a)u}\mathrm du\\
&=\frac{1}{-a}\mathcal F[f]\left(\frac{\omega}{a}\right)\\
\\
&\therefore \mathcal F[f(at)](\omega)=\frac{1}{|a|}\mathcal F[f]\left(\frac{\omega}{a}\right)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&(3)\\
&\left(i\frac{\mathrm d}{\mathrm d\omega}\right)^n\mathcal F[f](\omega)\\
&=i^n\frac{\mathrm d^n}{\mathrm d\omega^n}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\mathrm dt\\
&=i^n\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\frac{\partial^n}{\partial\omega^n}e^{-i\omega t}\mathrm dt\\
&=i^n\int_{-\infty}^{\infty}f(t)(-it)^ne^{-i\omega t}\mathrm dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}t^nf(t)e^{-i\omega t}\mathrm dt\\
&=\mathcal F[t^nf(t)](\omega)
\end{aligned}
$$
ですかね．
ジマ：そォー．次に，フーリエ変換における畳み込みという演算を次のように定義する．
$$
\begin{aligned}
(f*g)(t):=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)\mathrm d\tau
\end{aligned}
$$
次のような性質がある．
$$
\begin{align}
&f*g=g*f\\
&(f*g)*h=f*(g*h)\\
\end{align}
$$
ペケ：畳み込み$${*}$$という二項演算には交換律と結合律が成り立つんですね．
$$
\begin{aligned}
&(f*g)(t)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)\mathrm d\tau\\
&=\int_{\infty}^{-\infty}f(t-u)g(u)(-\mathrm du)(u=t-\tau)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}g(u)f(t-u)\mathrm du\\
&=(g*f)(t)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&((f*g)*h)(t)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}(f*g)(\tau)h(t-\tau)\mathrm d\tau\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(\upsilon)g(\tau-\upsilon)h(t-\tau)\mathrm d\tau\mathrm d\upsilon\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(\upsilon)\int_{-\infty}^{\infty}g(u)h\Bigl((t-\upsilon)-u\Bigr)\mathrm du\mathrm d\upsilon\\
& \ \ (u=\tau-\upsilon)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(\upsilon)(g*h)(t-\upsilon)\mathrm d\upsilon\\
&=(f*(g*h))(t)\\
\end{aligned}
$$
ジマ：で，コレが今回の花形だ．
$$
\begin{aligned}
\mathcal F[f*g](\omega)=\mathcal F[f](\omega) \cdot \mathcal F[g](\omega)
\end{aligned}
$$
ペケ：へぇー！畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換の積になるんですねぇ！
ジマ：So－．
ペケ：えーと，
$$
\begin{aligned}
&\mathcal F[f*g](\omega)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)\mathrm d\tau e^{-i\omega t}\mathrm dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)e^{-i\omega \tau}\int_{-\infty}^{\infty}g(t-\tau)e^{-i\omega (t-\tau)}\mathrm dt\mathrm d\tau\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)e^{-i\omega \tau}\int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-i\omega u}\mathrm du\mathrm d\tau\\
& \ \ (u=t-\tau)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)e^{-i\omega \tau}\mathrm d\tau\int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-i\omega u}\mathrm du\\
&=\mathcal F[f](\omega)\mathcal F[g](\omega)
\end{aligned}
$$
確かに成り立つ（？）
ジマ：どしたん？
ペケ：ジマさんもなんも言わないし，計算結果も合ってたから黙ってたんだけど，重積分で普通の積分みたいに1変数だけ変数変換ってしていいんですか？しかも，今回は上も下も，もう一つの積分変数含んでたし．
ジマ：ヤコビアン計算すりゃいいじゃん．
ペケ：今回のように$${x=f(u,v),y=v}$$だとしたら，
$$
\begin{aligned}
\mathrm dx\mathrm dy
&=\left|\det\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\
\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\\
\end{pmatrix}\right|\mathrm du\mathrm dv\\
&=\left|\det\begin{pmatrix}
\frac{\partial f}{\partial u}&\frac{\partial f}{\partial v}\\
0&1\\
\end{pmatrix}\right|\mathrm du\mathrm dv\\
&=\left|\frac{\partial f}{\partial u}\right|\mathrm du\mathrm dv\\
&=\left|\frac{\partial f}{\partial u}\right|\mathrm du\mathrm dy\\
\\
\therefore\mathrm dx
&=\left|\frac{\partial f}{\partial u}\right|\mathrm du
\end{aligned}
$$
あ，問題なさそうですね．
ジマ：ラプラスでも出てくるから，いいタイミングで疑問持ってくれたな．
ペケ：ありがとうございます．
ジマ：じゃ，最後に前回出てきた矩形関数$${\sqcap(t)}$$どうしの畳み込みを計算してくんねェー？
ペケ：はい．
$$
\begin{aligned}
(\sqcap*\sqcap)(t)
&=\int_{-\infty}^{\infty}\sqcap(\tau)\sqcap(t-\tau)\mathrm d\tau\\
&=\int_{-1/2+t}^{1/2+t}\sqcap(\tau)1\mathrm d\tau\\
\end{aligned}
$$
$${-1\leq t\leq0}$$のとき，$${-1/2+t\leq-1/2,1/2+t\leq1/2}$$だから，
$$
\begin{aligned}
\int_{-1/2+t}^{1/2+t}\sqcap(\tau)\mathrm d\tau
=\int_{-1/2}^{1/2+t}1\mathrm d\tau
=1+t
\end{aligned}
$$
$${0\leq t \leq 1}$$のとき，$${-1/2+t\geq-1/2,1/2+t\geq1/2}$$だから，
$$
\begin{aligned}
\int_{-1/2+t}^{1/2+t}\sqcap(\tau)\mathrm d\tau
=\int_{-1/2+t}^{1/2}1\mathrm d\tau
=1-t
\end{aligned}
$$
で，ほかゼロだから，
$$
\begin{aligned}
(\sqcap*\sqcap)(t)
&=\land(t)
\end{aligned}
$$
前回やった三角形関数$${\land(t)}$$が出てきた！
ジマ：So－．下のようなイメージだね．(引用: wikipedia 畳み込み)
ペケ：あ．前回のって，$${\mathcal F[\sqcap](\omega)=\mathrm{sinc}(\omega/2)}$$だったから，
$$
\begin{aligned}
\mathcal F[\land](\omega)
&=\mathcal F[\sqcap*\sqcap](\omega)\\
&=\mathcal F[\sqcap](\omega)\mathcal F[\sqcap](\omega)\\
&=\mathrm{sinc}^2\left(\frac{\omega}{2}\right)
\end{aligned}
$$
ということだったんスね？
ジマ：そういうこと．確かに畳み込み畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換の積になってるだろ？
ペケ：なるほどねー．
#5のまとめ
フーリエ変換の諸公式
フーリエ変換における畳み込みの定義と性質
畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換の積になる