ペケとジマのフーリエ･ラプラス解析 #6 パーセバルの定理とポアソン和公式

コジ

2024年11月22日 07:00

登場人物

ペケ
理系，学部2年．
温厚

ジマ
文系，ペケの先輩．
獰猛

ジマ：フーリエ変換にもパーセバルあるから紹介するよ．

$$
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty}\Bigl|\mathcal F[f](\omega)\Bigr|^2\mathrm d\omega
=2\pi\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2\mathrm dt
\end{aligned}
$$

パーセバルの定理っていうよー．

ペケ：形までそっくりですね，やってみます．

$$
\begin{aligned}
&\int_{-\infty}^{\infty}\Bigl|\mathcal F[f](\omega)\Bigr|^2\mathrm d\omega\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal F[f](\omega)\mathcal F[f](\omega)^*\mathrm d\omega\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\mathrm dt\int_{-\infty}^{\infty}f(u)^*e^{i\omega u}\mathrm du\mathrm d\omega\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(u)^*\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i(t-u)\omega }\mathrm d\omega\mathrm dt\mathrm du\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(u)^*\int_{-\infty}^{\infty}f(t)2\pi\delta(t-u)\mathrm dt\mathrm du\\
&=2\pi\int_{-\infty}^{\infty}f(u)^*f(u)\mathrm du\\
&=2\pi\int_{-\infty}^{\infty}|f(u)|^2\mathrm du\\
\end{aligned}
$$

あれ，もしかしてこれ，もっと一般化すると，

$$
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal F[f](\omega)\mathcal F[g](\omega)^*\mathrm d\omega
=2\pi\int_{-\infty}^{\infty}f(t)g(t)^*\mathrm dt
\end{aligned}
$$

じゃない？おんなじ方法で証明でできるし．

ジマ：なんならこないだやったフーリエ級数のパーセバルの定理も，

$$
\begin{aligned}
g(x)
&=\sum_{k=1}^\infty \alpha_k\cos(kx)+\sum_{k=1}^\infty \beta_k\sin(kx)+\Gamma\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty \gamma_ke^{ikx}
\end{aligned}
$$

としたら，

$$
\begin{aligned}
&\int_{0}^{2\pi}f(x)g(x)^*\mathrm dx
=\pi\sum_{k=1}^\infty (a_k\alpha_k^*+b_k\beta_k^*)+2\pi C\Gamma^*\\
&\int_{0}^{2\pi}f(x)g(x)^*\mathrm dx
=2\pi\sum_{k=-\infty}^\infty c_k\gamma_k^*
\end{aligned}
$$

だNeーー．

ペケ：なんで教えてくれなかったんですか．

ジマ：あんまし使わないし，それにペケくんの頭のスペックだとこんなに詰め込んだらパンクするでしょォーがーww
ちゃんと係数を直交性で抜き出すという動機とその手順を覚えてたら，さっきの君みたいに暗算で予想できるだろうしねー．

ペケ：なるほど．

ジマ：では，$${f(t)=\delta(t),g(t)=\sqcap(t/2)}$$として，パーセバルの等式を計算してみてくれ給へ．

ペケ：

$$
\begin{aligned}
\mathcal F[\delta](\omega)
&=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-i\omega t}\mathrm dt\\
&=e^{-i\omega 0}\\
&=1\\
\\
\mathcal F\left[\sqcap\left(\frac{t}{2}\right)\right](\omega)
&=\frac{1}{|1/2|}\mathcal F[\sqcap]\left(\frac{\omega}{1/2}\right)\\
&=2\mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2/2}
\right)\\
&=2\mathrm{sinc}\left(\omega\right)\\
&=2\frac{\sin(\omega)}{\omega}
\end{aligned}
$$

で，

$$
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty}f(t)g(t)^*\mathrm dt
&=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\sqcap\left(\frac{t}{2}\right)^*\mathrm dt\\
&=\sqcap\left(\frac{0}{2}\right)^*\\
&=1
\end{aligned}
$$

だから，

$$
\begin{aligned}
&\int_{-\infty}^{\infty}1\cdot2\frac{\sin(\omega)}{\omega}\mathrm d\omega
=2\pi\cdot1\\
\\
&\therefore \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(\omega)}{\omega}\mathrm d\omega=\pi
\end{aligned}
$$

へ＾～～～．複素解析#5の時にやったディリクレ積分が導出できました．こんな方法もあるんですねェ．

ジマ：ついでに次も証明してくれ．

$$
\begin{aligned}
\sum_{k=-\infty}^\infty\delta(x-k)
=\sum_{k=-\infty}^\infty e^{2\pi ikx}
\end{aligned}
$$

ちなみに左辺を櫛形関数$${山(x)}$$という．

ペケ：

$$
\begin{aligned}
山(x+1)
&=\sum_{k=-\infty}^\infty\delta\Big((x+1)-k\Big)\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty\delta\Big(x-(k-1)\Big)\\
&=\sum_{l=-\infty}^\infty\delta(x-l)\ \ (l=k-1)\\
&=山(x)
\end{aligned}
$$

だから，$${山(x)}$$は周期$${1}$$の周期関数と分かるから，複素フーリエ係数を計算すると，周期の中にちょうど1個だけデルタ関数の中身をゼロにする点を含んで積分するから，

$$
\begin{aligned}
1c_n
&=\int_{-1/2}^{1/2}山(x)e^{-2\pi inx/1}\mathrm dx\\
&=\cdots +0+e^{-2\pi in0}+0+\cdots\\
&=1\\
\end{aligned}
$$

だから，

$$
\begin{aligned}
\therefore山(x)
=\sum_{k=-\infty}^\infty c_ke^{2\pi ikx}
=\sum_{k=-\infty}^\infty e^{2\pi ikx}
\end{aligned}
$$

これマジでどこにも証明載ってませんでした．

ジマ：では次の面白い和公式を示してもらう．

$$
\begin{aligned}
&\sum_{k=-\infty}^\infty \mathcal F'[f](k)
=\sum_{k=-\infty}^\infty f(k)\\
&\left(\mathcal F'[\phi](f):=\int_{-\infty}^\infty \phi(t)e^{-2\pi ift}\mathrm dt\right)
\end{aligned}
$$

ポアソン和公式というよォー．

ペケ：へー．関数に無限和をとるとき，$${'}$$付きのフーリエ変換したヤツとしてないヤツが同じ値になるんすね！不思議です．

$$
\begin{aligned}
\sum_{k=-\infty}^\infty \mathcal F'[f](k)
&=\sum_{k=-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-2\pi ikt}\mathrm dt\\
&=\int_{-\infty}^\infty f(t)\sum_{k=-\infty}^\infty e^{-2\pi ikt}\mathrm dt\\
&=\int_{-\infty}^\infty f(t)\sum_{k=-\infty}^\infty \delta(t- k)\mathrm dt\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(t)\delta(t- k)\mathrm dt\\
&= \sum_{k=-\infty}^\infty f(k)\\
\end{aligned}
$$

ジマ：試しに$${f(t)=\sqcap(\pi t)}$$でやってみろ．

ペケ：はい．$${\mathcal F[\sqcap(t/2)](\omega)=2\mathrm{sinc}(\omega)}$$だったから，フーリエ変換の定義をいつものやつに直すと，

$$
\begin{aligned}
\mathcal F'[\sqcap(\pi t)](k)
&=\int_{-\infty}^\infty \sqcap(\pi t)e^{-2\pi ift}\mathrm dt\\
&=\int_{-\infty}^\infty \sqcap\left(\frac{\tau}{2}\right)e^{-if\tau}\frac{\mathrm d\tau}{2\pi} \ (\tau=2\pi t)\\
&=\frac{1}{2\pi}\mathcal F\left[\sqcap\left(\frac{\tau}{2}\right)\right](f)\\
&=\frac{1}{2\pi}2\mathrm{sinc}\left(f\right)\\
&=\frac{\sin(f)}{\pi f}\\
\end{aligned}
$$

だから，ポアソン和公式より，

$$
\begin{aligned}
\sum_{k=-\infty}^\infty \frac{\sin(k)}{\pi k}
&=\sum_{k=-\infty}^\infty \sqcap(2\pi t)\\
&=\cdots+\cancel{\sqcap(-2\pi 0)}+\sqcap(2\pi 0)+\cancel{\sqcap(2\pi 0)}+\cdots\\
&=1\\
\\
&\therefore \sum_{k=-\infty}^\infty \frac{\sin(k)}{k}=\pi
\end{aligned}
$$

へぇ，$${\mathrm{sinc}}$$関数って積分(ディリクレ積分)しても無限和をとっても答え$${\pi}$$になるんすね！
あ，左辺ですが，$${\mathrm{sinc}}$$関数なので，$${k=0}$$のときは$${k\rightarrow0}$$の極限的に$${1}$$と解釈します．

ジマ：ダイナミック尺余り！！！

$$
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal F[f](t)g(t)\mathrm dt
=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathcal F[g](t)\mathrm dt\\
\end{aligned}
$$

カーネルスワッピングだ．

ペケ：名前あるんだ．

ジマ：名前ないからコジ(筆者)がそう呼んでるだけ．

ペケ：でも対称性があって面白い見た目してますよね．

$$
\begin{aligned}
&\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal F[f](t)g(t)\mathrm dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-iut}\mathrm dug(t)\mathrm dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(u)\int_{-\infty}^{\infty}g(t)e^{-iut}\mathrm dt\mathrm du\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(u)\mathcal F[g](u)\mathrm du\\
\end{aligned}
$$

確かに，カーネル(核)を，もう一方の関数に渡してるからコジくんはそういう名前を付けたんですね．

ジマ：$${f(t)=\sqcap(t/2),g(t)=\delta(t)}$$としたら，$${\mathcal F[f](t)=2\sin(t)/t,\mathcal F[g](t)=1}$$だから，ディリクレ積分を，

$$
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(t)}{t}\mathrm dt
&=\frac12\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\sin(t)}{t}\cdot1\mathrm dt\\
&=\frac12\int_{-\infty}^{\infty}\sqcap\left(\frac{t}{2}\right)2\pi\delta(t)\mathrm dt\\
&=\frac122\pi\sqcap\left(\frac{0}{2}\right)\\
&=\pi
\end{aligned}
$$

という風にも計算できるな．