ペケとジマのフーリエ･ラプラス解析 #2 パーセバルの等式

コジ

2024年11月20日 04:33

登場人物

ペケ
理系，学部2年．
ガリ．

ジマ
文系，ペケの先輩．
デブ．

ジマ：さて，前回のフーリエ級数展開の定義を用いて，次が成り立つことを示してくれ．

$$
\begin{aligned}
\int_0^{2\pi}|f(x)|^2\mathrm dx
=\pi\sum_{k=1}^\infty |a_k|^2+\pi\sum_{k=1}^\infty |b_k|^2+2\pi|C|^2
\end{aligned}
$$

これをパーセバルの等式というよォー．
ヒントは，$${|f(x)|^2=f(x)f(x)^*}$$と分解することだ．

ペケ：わかりました．

$$
\begin{aligned}
f(x)&=\sum _{m=1}^\infty a_m\cos(mx)+\sum _{m=1}^\infty b_m\sin(mx)+C\\
f(x)^*&=\left(\sum _{n=1}^\infty a_n\cos(mx)+\sum _{n=1}^\infty b_n\sin(nx)+C\right)^*\\
&=\sum _{n=1}^\infty a_n^*\cos(nx)+\sum _{n=1}^\infty b_n^*\sin(nx)+C^*
\end{aligned}
$$

と書くと，三角関数の直交性から，

$$
\begin{aligned}
&\int_0^{2\pi}(a_m\cos(mx)+b_m\sin(mx)+C)(a_n^*\cos(nx)+b_n^*\sin(nx)+C^*)\mathrm dx\\
&=a_ma_n^*\int_0^{2\pi}\cos(mx)\cos(nx)\mathrm dx
+b_mb_n^*\int_0^{2\pi}\sin(mx)\sin(nx)\mathrm dx\\
&+a_mb_n^*\int_0^{2\pi}\cos(mx)\sin(nx)\mathrm dx
+b_ma_n^*\int_0^{2\pi}\sin(mx)\cos(nx)\mathrm dx\\
&+C^*\int_0^{2\pi}(a_m\cos(mx)+b_m\sin(nx))\mathrm dx
+C\int_0^{2\pi}(a_n^*\cos(nx)+b_n^*\sin(nx))\mathrm dx\\
&+\int_0^{2\pi}CC^*\mathrm dx\\
&=a_ma_n^*\pi\delta_{mn}+b_mb_n^*\pi\delta_{mn}
+a_mb_n^*\cdot0+b_ma_n^*\cdot0+C^*\cdot0+C\cdot0+CC^*\cdot2\pi\\
&=\pi\delta_{mn}a_ma_n^*+\pi\delta_{mn}b_mb_n^*
+2\pi|C|^2\\
\end{aligned}
$$

和をとると，

$$
\begin{aligned}
&\int_0^{2\pi}|f(x)|^2\mathrm dx\\
&=\int_0^{2\pi}f(x)f(x)^*\mathrm dx\\

&=\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty \pi\delta_{mn}a_ma_n^*
+\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty \pi\delta_{mn}b_mb_n^*
+2\pi |C|^2\\
&=\pi\sum_{m=1}^\infty a_ma_m^*
+\pi\sum_{m=1}^\infty b_mb_m^*
+2\pi |C|^2\\
&=\pi\sum_{m=1}^\infty |a_m|^2+\pi\sum_{m=1}^\infty |b_m|^2+2\pi|C|^2\\
\end{aligned}
$$

でどうでしょう？コジ(筆者)くんが初見のときやってた方法らしいです．

ジマ：n～～～．多分パーセバルが最初に思いついたときはこういう証明だっただろうね．$${f(x)}$$と$${f(x)^*}$$の積取って，直交部分が死ぬから対角部分の絶対値の2乗和が残るっていう．
それでもいいんだけど，めんどくさいじゃん？
$${f(x)^*}$$の方をフーリエ級数展開すると，

$$
\begin{aligned}
f(x)^*
&=\left(\sum_{k=1}^\infty a_k\cos(kx)+\sum_{k=1}^\infty b_k\sin(kx)+C\right)^*\\
&=\sum_{k=1}^\infty a_k^*\cos(kx)+\sum_{k=1}^\infty b_k^*\sin(kx)+C^*
\end{aligned}
$$

だから，

$$
\begin{aligned}
&\int_0^{2\pi}|f(x)|^2\mathrm dx\\
&=\int_0^{2\pi}f(x)f(x)^*\mathrm dx\\
&=\int_0^{2\pi}f(x)\left(\sum_{k=1}^\infty a_k^*\cos(kx)+\sum_{k=1}^\infty b_k^*\sin(kx)+C^*\right)\mathrm dx\\
&=\int_0^{2\pi}f(x)\sum_{k=1}^\infty a_k^*\cos(kx)\mathrm dx
+\int_0^{2\pi}f(x)\sum_{k=1}^\infty b_k^*\sin(kx)\mathrm dx\\
&+\int_0^{2\pi}f(x)C^*\mathrm dx\\
&=\sum_{k=1}^\infty a_k^*\int_0^{2\pi}f(x)\cos(kx)\mathrm dx
+\sum_{k=1}^\infty b_k^*\int_0^{2\pi}f(x)\sin(kx)\mathrm dx\\
&+C^*\int_0^{2\pi}f(x)\mathrm dx\\
&=\sum_{k=1}^\infty a_k^*\pi a_k+\sum_{k=1}^\infty b_k^*\pi b_k
+C^*2\pi C\\
&=\pi\sum_{k=1}^\infty |a_k|^2+\pi\sum_{k=1}^\infty |b_k|^2+2\pi|C|^2\\
\end{aligned}
$$

とする方法もあるYoー．Soー．
直交性で係数を抜き取ってることからもわかると思うけど，別に積分区間1周期だったらどう取っても良いからね．

ペケ：へー，ちょっと天下り感あるけど，途中でフーリエ係数の定義式が出てきて積分がキレイに消えるのが良いですね．

ジマ：では，この事実を用いて，面白い無限級数を求めてみよう．
$${f(x)}$$を前回のノコギリ波としてパーセバルの等式を計算してくれ．

ペケ：まず，$${a_n=0,b_n=-2(-1)^n/n,C=0}$$だったから右辺は，

$$
\begin{aligned}
&\pi\sum_{k=1}^\infty |a_k|^2+\pi\sum_{k=1}^\infty |b_k|^2+2\pi|C|^2\\
&=\pi\sum_{k=1}^\infty |0|^2+\pi\sum_{k=1}^\infty \left|-\frac{2(-1)^k}{k}\right|^2+2\pi|0|^2\\
&=0+\pi\sum_{k=1}^\infty \frac{4}{k^2}+0\\
&=4\pi\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\\
\end{aligned}
$$

左辺は，1周期を$${[-\pi,\pi)}$$として，

$$
\begin{aligned}
\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\mathrm dx
&=\int_{-\pi}^{\pi}|x|^2\mathrm dx\\
&=2\int_0^{\pi}x^2\mathrm dx\\
&=2\left[\frac13x^3\right]_0^\pi\\
&=\frac{2\pi^3}{3}
\end{aligned}
$$

で，これらは等しいから，

$$
\begin{aligned}
\frac{2\pi^3}{3}=4\pi\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\\
\\
\therefore \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}
\end{aligned}
$$

はぇ～～．自然数の二乗の逆数和が$${\pi^2/6}$$になるのか！
自然数から$${\pi}$$が出てくるとは...
…ん？これもなんだかデジャヴな気が．

ジマ：いわゆるバーゼル問題だね．最初に解いたオイラーの時代の解法ではないけど，別解だねェ―．
これも大学入試で出題されたことあるな．

ペケ：へー．これって，ノコギリ波の2乗版
$${f(x)=x^2(-\pi\leq x<\pi の部分を繰り返す)}$$のフーリエ級数展開からも求められるんですか？

ジマ：出来るけどめんどいし，せっかく前回求めたフーリエ係数と今回求めたパーセバルあるんだから使わない手はないよね．使用例にもなるし．

ペケ：こういう風に使えるんですね．

ジマ：ちなみに複素フーリエ級数だとこうだ．

$$
\begin{aligned}
\int_0^{2\pi}|f(x)|^2\mathrm dx
=2\pi\sum_{k=-\infty}^\infty |c_k|^2
\end{aligned}
$$

ペケ：シンプルでいいスね．$${f(x)^*}$$の方をフーリエ級数展開して，

$$
\begin{aligned}
f(x)^*
&=\left(\sum_{k=-\infty}^\infty c_ke^{ikx}\right)^*\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k^*(e^{ikx})^*\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k^*e^{-ikx}
\end{aligned}
$$

だから，

$$
\begin{aligned}
\int_0^{2\pi}|f(x)|^2\mathrm dx
&=\int_0^{2\pi}f(x)\sum_{k=-\infty}^\infty c_k^*e^{-ikx}\mathrm dx\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k^*\int_0^{2\pi}f(x)e^{-ikx}\mathrm dx\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k^*2\pi c_k\\
&=2\pi\sum_{k=-\infty}^\infty |c_k|^2
\end{aligned}
$$

ですね？