ペケとジマのフーリエ･ラプラス解析 #4 フーリエ変換と逆変換

コジ

2024年11月20日 23:10

登場人物

ペケ
理系，学部2年．
"チー牛"に似てる．

ジマ
文系，ペケの先輩．
"iカップ未満お断りのTom"に似てる．

ジマ：さて，いよいよフーリエ変換に入っていく．フーリエ変換やラプラス変換のように，核を掛けて積分して別の関数にする変換を積分変換というよ．
$${f(t)}$$のフーリエ変換を次で定義するよォー．

$$
\begin{aligned}
\mathcal F[f(t)](\omega):=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\mathrm dt
\ (\omega \in \mathbb R)
\end{aligned}
$$

フーリエ変換でいうところの核はこの$${e^{-i\omega t}}$$だよ．
左辺は$${F(\omega),\hat f(\omega)}$$という表記もあるよー．

ペケ：右辺ですが，

$$
\begin{align}
&\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-2\pi ift}\mathrm dt\\
&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\mathrm dt\\
\end{align}
$$

という定義もみたことあるんですが，違いは何なんですかね？

ジマ：$${(1)}$$は角周波数$${\omega}$$と周波数$${f}$$(被積分関数の$${f}$$じゃないよ．)の関係$${\omega=2\pi f}$$だね．
$${(2)}$$は後々理由わかるとして，今回表記や計算がしやすくて見やすい定義を採用したよ．

ペケ：そうなんですね．#1でやった複素フーリエ級数展開

$$
f(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty c_ke^{-ikx}\\
f(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty c_ke^{-2\pi ikx/T}
$$

みたいですね．

ジマ：そうだね．それの積分バージョンというか周期無限バージョンというか．

ペケ：$${f(t)}$$って何でもかんでもフーリエ変換できるの？

ジマ：フーリエ変換できるための十分条件は次だね．

$$
\begin{aligned}
\left|\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\mathrm dt\right|
&\leq\int_{-\infty}^{\infty}\left|f(t)e^{-i\omega t}\right|\mathrm dt
=\int_{-\infty}^{\infty}\left|f(t)\right|\mathrm dt<\infty\\
& \ \ \ \ (\because 三角不等式)\\
\\
&\therefore \int_{-\infty}^{\infty}\left|f(t)\right|\mathrm dt<\infty
\end{aligned}
$$

この条件を絶対可積分というヨォー．

ペケ：なるほど．

ジマ：では早速だが，次のフーリエ変換を計算してくんねぇー？

$$
\begin{aligned}
\sqcap(t)=
\begin{equation*}
\left\{ \,
\begin{aligned}
& 1\ \ (|t|\leq 1/2)\\
& 0 \ \ (|t|>1/2)\\
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\end{aligned}
$$

矩形関数って言うんだけれども．

ペケ：分かりました．オイラーの公式から三角関数に分解すると，偶•奇関数だから，

$$
\begin{aligned}
\mathcal F[\sqcap](\omega)
&=\int_{-\infty}^{\infty}\sqcap(t)e^{-i\omega t}\mathrm dt\\
&=\int_{-1/2}^{1/2}e^{-i\omega t}\mathrm dt\\
&=\int_{-1/2}^{1/2}\cos(\omega t)\mathrm dt
-\int_{-1/2}^{1/2}i\sin(\omega t)\mathrm dt\\
&=2\int_{0}^{1/2}\cos(\omega t)\mathrm dt-0\\
&=2\left[\frac{1}{\omega}\sin(\omega t)\right]_{0}^{1/2}\\
&=\frac{\sin(\omega/2)}{(\omega/2)}\\
&=\mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}2\right)
\end{aligned}
$$

矩形関数のフーリエ変換は正規化してない$${\mathrm{sinc}}$$関数が出てくるんすね．

ジマ：次はこのフーリエ変換を計算してくんねぇー？

$$
\begin{aligned}
\land(t)=
\begin{equation*}
\left\{ \,
\begin{aligned}
& 1-|t|\ \ (|t|\leq 1)\\
& 0 \ \ (|t|>1)\\
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\end{aligned}
$$

三角形関数って言うんだけれども．

ペケ：$${\mathrm{sgn}}$$が奇関数だから，オイラーの公式から$${\cos}$$の部分がゼロになって，

$$
\begin{aligned}
&\mathcal F[\land](\omega)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\land(t)e^{-i\omega t}\mathrm dt\\
&=\int_{-1}^{1}(1-|t|)e^{-i\omega t}\mathrm dt\\
&=\left[\frac{1}{-i\omega}(1-|t|)e^{-i\omega t}\right]_{-1}^{1}
-\int_{-1}^{1}\frac{1}{i\omega}\mathrm{sgn}(t)e^{-i\omega t}\mathrm dt\\
&=0-\int_{-1}^{1}\frac{1}{i\omega}\mathrm{sgn}(t)\cos(\omega t)\mathrm dt
+\int_{-1}^{1}\frac{1}{i\omega}\mathrm{sgn}(t)i\sin(\omega t)\mathrm dt\\
&=-0+2\int_{0}^{1}\frac{1}{i\omega}1\cdot i\sin(\omega t)\mathrm dt\\
&=\left[-\frac{2}{\omega^2}\cos(\omega t)\right]_{0}^{1}\\
&=\frac{2}{\omega^2}\Bigl(1-\cos(\omega )\Bigr)\\
\end{aligned}
$$

ジマ：So〜．更に変形すると，$${\mathrm{sinc}^2(\omega/2)}$$だね．

ペケ：確かに．矩形波の結果の二乗になるのか．

ジマ：なんで2乗になるかは次回やるよー．
次$${e^{iat} \ (a \in\mathbb R)}$$．

ペケ：$${|e^{iat}|=1}$$だから，絶対可積分じゃないんじゃ…？

ジマ："十分条件"って言っただろうがカス！！(ホントは必要十分条件で今回はデルタ関数絡みだから積分できるんだけど，ルベーグ積分やんないと必要性示せないから黙っとこ．)

ペケ：すみませんでした．確かに．

$$
\begin{aligned}
\mathcal F[e^{iat}](\omega)
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{iat}e^{-i\omega t}\mathrm dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i(\omega-a) t}\mathrm dt\\
&=\left[\frac{1}{-i(\omega-a)}e^{-i(\omega-a) t}\right]_{-\infty}^{\infty}\\
&=\frac{1}{-i(\omega-a)}\left(e^{-i(\omega-a) \infty}-e^{i(\omega-a)\infty}\right)\\
&=2\frac{e^{i(\omega-a)\infty}-e^{-i(\omega-a)\infty}}{2i(\omega-a)}\\
&=\frac{2\sin\Bigl(\infty(\omega-a)\Bigr)}{(\omega-a)}
\end{aligned}
$$

…で，コレどう計算すればいいんですかね？

ジマ：前回やったデルタ関数の定義の一つ思い出してみろ．

ペケ：あ，$${\delta(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\sin(nx)/(\pi x)}$$ですか．ちょっと似てる．
てことは，$${\mathcal F[e^{iat}](\omega)=2\pi\delta(\omega-a)}$$ですか．

ジマ：Soー．相変わらず，ガバでお馴染みデルタ関数くん．

ペケ：気持ち悪いけど，ちゃんと成り立つんですよね．

ジマ：そうね．最後にフーリエ逆変換というものを教えよう．

$$
\begin{aligned}
\mathcal F^{-1}[F(\omega)](t)
:=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\mathrm d\omega
\ (t \in \mathbb R)
\end{aligned}
$$

フーリエ変換した関数を元に戻す積分変換だよー．

ペケ：えーと…

$$
\begin{aligned}
\mathcal F^{-1}[F(\omega)](t)
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\mathrm d\omega\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)e^{-i\omega \tau}\mathrm d\tau \ e^{i\omega t}\mathrm d\omega\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i(\tau-t)\omega}\mathrm d\omega\mathrm d\tau\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)2\pi\delta(\tau-t)\mathrm d\tau\\
& \ (\because さっきの計算結果)\\
&=\frac{1}{2\pi}2\pi f(t)\\
&=f(t)
\end{aligned}
$$

へー．デルタ関数が出てきて，複素フーリエ級数展開の直交性ときみたく，デルタ関数で$${2\pi f(t)}$$を抜き出せるんですね！
あ，そのための$${1/2\pi}$$なのか．

ジマ：複素フーリエ係数や留数みたく，取り出したものにお土産$${(2\pi )}$$が付いてくるからねー．

ペケ：変換と逆変換で関数を元に戻したときに$${2\pi }$$が付いてくるから，さっきの$${1/\sqrt{2\pi}}$$付きの定義は，

$$
\begin{aligned}
\mathcal F[f(t)](\omega)
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\mathrm dt\\
\mathcal F^{-1}[F(\omega)](t)
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\mathrm d\omega\\
\end{aligned}
$$

として，変換と逆変換で形を対称に似せて見栄えをよくするための定義なんですね！