ペケとジマの線形代数 #2
登場人物
ペケ (聞き手)
理系，学部1年．
ガリ．
ジマ (話し手)
文系，ペケの先輩．
デブ．
ペケ：ジマさん．行列のスカラー倍や行列どうしの和や積があったとおもうんですが，どうしてあんな感じになるんですかねぇ?
ジマ：前回教えた"行列の意味するところ"で何となく分かるくね?
だが，説明の都合上，一旦お前の記憶を消させていただく．
４ね！オラァ！！
ペケ：あー．何も思い出せません．
ジマ：よし，記憶消えたな．
まず，行列$${A=(\boldsymbol e_1' \ \boldsymbol e_2')}$$を，ベクトルを次のように変化させるものと定義する．
$$
x \boldsymbol e_1'+y \boldsymbol e_2':=A\cdot(x \boldsymbol e_1+y \boldsymbol e_2)
$$
ペケ：$${A}$$ってのは関数なんですか?てかその点は何?
ジマ：この点は掛け算だよォー．掛け算だから次から省略するヨォー．
ペケ：係数を変えず基底だけ $${'}$$ 付きに変換するんですね．
ジマ：So－．んで，次を定義するよォー．
$$
(A+B)\boldsymbol x := A\boldsymbol x+B\boldsymbol x
\\
A(\boldsymbol x+\boldsymbol y) :=A\boldsymbol x+A\boldsymbol y
$$
ペケ：行列とベクトルの掛け算にも分配法則が成り立つようにするんですね．
ジマ：んで，$${k}$$:スカラー，$${A=(\boldsymbol e_1' \ \boldsymbol e_2') \ , \ B=(\boldsymbol e_1'' \ \boldsymbol e_2'')}$$とすると，
$$
\begin{align}
&kA(x \boldsymbol e_1+y \boldsymbol e_2)\notag\\
&=k(x \boldsymbol e_1'+y \boldsymbol e_2') \notag \\
&=x(k\boldsymbol e_1')+y(k\boldsymbol e_2')\\
\notag \\
&(A+B)(x \boldsymbol e_1+y \boldsymbol e_2)\notag\\
&=A(x \boldsymbol e_1+y \boldsymbol e_2) + B(x \boldsymbol e_1+y \boldsymbol e_2) \notag \\
&=(x \boldsymbol e_1'+y \boldsymbol e_2')
+(x \boldsymbol e_1''+y \boldsymbol e_2'') \notag \\
&=x(\boldsymbol e_1'+\boldsymbol e_1'')+y(\boldsymbol e_2'+\boldsymbol e_2'')
\end{align}
$$
という具合に．$${{k\boldsymbol e_i'} \ , \ (\boldsymbol e_i'+\boldsymbol e_i'')}$$をそれぞれ$${kA \ , (A+B)}$$の$${i}$$列目とするよォー．んで積は右から計算していくと，
$$
\begin{align}
AB(x \boldsymbol e_1+y \boldsymbol e_2)
&=A(x \boldsymbol e_1''+y \boldsymbol e_2'') \notag\\
&=x( A\boldsymbol e_1'')+y(A \boldsymbol e_2'')
\\
BA(x \boldsymbol e_1+y \boldsymbol e_2)
&=B(x \boldsymbol e_1'+y \boldsymbol e_2')\notag\\
&=x( B\boldsymbol e_1')+y(B \boldsymbol e_2')
\end{align}
$$
という具合に．$${A\boldsymbol e_i'' \ , \ B\boldsymbol e_i'}$$をそれぞれ$${AB \ , \ BA}$$の$${i}$$列目とするよォー．
記憶戻していいよー．
ペケ：あー．$${\boldsymbol e_i'=a_{1i}\boldsymbol e_1+a_{2i}\boldsymbol e_2\ ,\ \boldsymbol e_i''=b_{1i}\boldsymbol e_1+b_{2i}\boldsymbol e_2}$$として$${(3),(4)}$$の計算進めたら，習った方法と一致しました．
ジマ：Soー．これらがペケ君が習った方法たる所以だね．
$${AB=BA}$$のとき各列$${A\boldsymbol e_i''=B\boldsymbol e_i'}$$とならなければならんことから，必ずしも交換法則$${AB = BA}$$が成り立たないことも分かるな．
ペケ：はぇー，こういう見方もあるんすね．
行列とスカラーは交換してもokなんすか?
ジマ：So－．$${(1)}$$と背理法で示せるよー．
同様に行列どうしの結合法則や分配法則も示せるから自分でやっとけよなー．
ペケ：分かりました．確かめておきます．
#2のまとめ
ベクトルと行列の積の定義から行列どうしの和や積がうまいこと定義できる．
必ずしも交換法則$${AB = BA}$$が成り立たない($${AB \neq BA}$$となることが多い)