ペケとジマのフーリエ･ラプラス解析 #1 フーリエ級数展開
登場人物
ペケ (聞き手)
理系，学部2年．
ジマの子分．
ジマ(話し手)
文系，ペケの先輩．
口は悪いが，いろんな分野に造詣が深い．
ペケ：ジマさん．必修にフーリエ，ラプラスがあるんですが，パッとしないので教えてください．
ジマ：しょうがねえなぁ．1から教えてやるからちゃんと聞いとけ．
ペケ：ありがとうございます．
ジマ：じゃ，まずペケくぅん．次の積分を解いてくれ．
$$
\int_{1周期}\sin(mx)\sin(nx)\mathrm dx \\
\int_{1周期}\cos(mx)\cos(nx)\mathrm dx \\
\int_{1周期}\sin(mx)\cos(nx)\mathrm dx \\
(m,n\in\mathbb Z _{>0})
$$
ペケ：どのm,nに対してもの一周期ってことは$${2\pi}$$ですか？
ジマ：Soー．本来は$${\alpha}$$から$${2\pi+\alpha}$$で示して欲しいけど，式が長くなって視認性悪くなってダルいから特別に
$$
I_{mn}=\int_0^{2\pi}\sin(mx)\sin(nx)\mathrm dx \\
J_{mn}=\int_0^{2\pi}\cos(mx)\cos(nx)\mathrm dx \\
K_{mn}=\int_0^{2\pi}\sin(mx)\cos(nx)\mathrm dx \\
(m,n\in\mathbb Z_{>0})
$$
で勘弁してやるよォー．
ペケ：ありがとうございます．あ！これ，H大学の過去問で見たことある！和積の公式を使って，
$$
\begin{aligned}
I_{mn}
&=\int_0^{2\pi}\sin(mx)\sin(nx)\mathrm dx \\
&=\int_0^{2\pi}\frac12\left[\cos\Bigl((m-n)x\Bigr)-\cos\Bigl((m+n)x\Bigr)\right]\mathrm dx \\
&=\left[\frac{1}{m-n}\sin\Bigl((m-n)x\Bigr)-\frac{1}{m+n}\sin\Bigl((m+n)x\Bigr)\right]_0^{2\pi}\\
&=0
\\
J_{mn}
&=\int_0^{2\pi}\cos(mx)\cos(nx)\mathrm dx \\
&=\int_0^{2\pi}\frac12\left[\cos\Bigl((m-n)x\Bigr)+\cos\Bigl((m+n)x\Bigr)\right]\mathrm dx \\
&=\left[\frac{1}{m-n}\sin\Bigl((m-n)x\Bigr)+\frac{1}{m+n}\sin\Bigl((m+n)x\Bigr)\right]_0^{2\pi}\\
&=0
\\
K_{mn}
&=\int_0^{2\pi}\sin(mx)\cos(nx)\mathrm dx \\
&=\int_0^{2\pi}\frac12\left[\sin\Bigl((m-n)x\Bigr)+\sin\Bigl((m+n)x\Bigr)\right]\mathrm dx \\
&=\left[-\frac{1}{m-n}\cos\Bigl((m-n)x\Bigr)-\frac{1}{m+n}\cos\Bigl((m+n)x\Bigr)\right]_0^{2\pi}\\
&=0
\end{aligned}
$$
ですね？
ジマ：お前さぁー…$${m-n}$$がゼロになったらどうするの？責任取れんの？H大がこんな単純な問題出すとでも？
ペケ：またやってしまいました．$${m=n}$$のとき，半角と倍角の公式を使って，
$$
\begin{aligned}
I_{mm}
&=\int_0^{2\pi}\sin^2(mx)\mathrm dx \\
&=\int_0^{2\pi}\frac{1-\cos(2mx)}{2}\mathrm dx \\
&=\left[\frac{x}{2}-\frac{1}{4m}\sin(2mx)\right]_0^{2\pi}\\
&=\pi\\
\\
J_{mm}
&=\int_0^{2\pi}\cos^2(mx)\mathrm dx \\
&=\int_0^{2\pi}\frac{1+\cos(2mx)}{2}\mathrm dx \\
&=\left[\frac{x}{2}+\frac{1}{4m}\sin(2mx)\right]_0^{2\pi}\\
&=\pi\\
\\
K_{mm}
&=\int_0^{2\pi}\sin(mx)\cos(mx)\mathrm dx \\
&=\int_0^{2\pi}\frac12\sin(2mx)\mathrm dx \\
&=\left[-\frac1{4m}\cos(2mx)\right]_0^{2\pi}\\
&=0
\end{aligned}
$$
でした．すみません．
ジマ：$${K_{mn}}$$は一周期を$${[-\pi,\pi)}$$と取れば被積分関数が奇関数だから場合分けや計算をせずとも$${K_{mn}=0}$$だと分かるな．
ペケ：確かに．
ジマ：この結果から，クロネッカーのデルタ
$$
\delta_{mn}=
\begin{equation*}
\left\{ \,
\begin{aligned}
& 0 \ \ (m\neq n)\\
& 1 \ \ (m=n)\\
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
$$
を用いて，
$$
\begin{aligned}
&I_{mn}=J_{mn}=\pi\delta_{mn} \\
&K_{mn}=0\\
&(m,n\in\mathbb Z_{>0})
\end{aligned}
$$
と表せるな．
このように，ある区間で関数の積$${f(x)g(x)}$$の積分がゼロになるとき$${f(x)}$$と$${g(x)}$$は直交していると言うよォー．
ベクトルが直交するとき内積ゼロになることのアナロジーから来てるね．
$$
\begin{aligned}
&内積:&&積分:\\
&\boldsymbol x \cdot\boldsymbol y &&\int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx\\
&=\sum_{k=1}^nx_ky_k &&=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)g(x_k)\Delta x\\
&=0 &&=0
\end{aligned}
$$
ペケ：へー．どちらも積の和がゼロなところがそっくりですもんね．ネーミングセンスに惚れたわ．
クロネッカーのデルタ使うと場合分けがちょっと見通し良くなりましたね．
ジマ：Soー．本題に入んだけど，フーリエ級数展開の動機っていうのは，$${2\pi}$$周期関数$${f(x)}$$を，重み付けした三角関数の和で表そうっていうことなんだよね．
例えばこのように．
$$
\begin{aligned}
f(x)=\sum_{k=1}^\infty a_k\cos(kx)+\sum_{k=1}^\infty b_k\sin(kx)+C
\end{aligned}
$$
この重み$${a_k,b_k}$$の事をフーリエ係数って呼ぶよー．$${C}$$は切片(定数)だね．
ペケ：三角関数自体周期関数だから，うまいことそれらの線形結合で別の周期関数をつくれそうですね．
ジマ：では，手始めに$${a_n,b_n}$$を求めてみてくんねー？
ペケ：はい．でもこれどうすればいいんだ？マクローリン展開みたく微分…じゃ出てこないしな．うーん…
ジマ：ｸｸｸｸｸ…w さっきやってたこともう忘れてやんの．
ペケ：あ，コレさっきやった積分の性質を使えば，
$$
\begin{aligned}
&\int_0^{2\pi}f(x)\cos(nx)\mathrm dx\\
&=\int_0^{2\pi}\left(\sum_{k=1}^\infty a_k\cos(kx)+\sum_{k=1}^\infty b_k\sin(kx)+C\right)\cos(nx)\mathrm dx\\
&=\int_0^{2\pi}\sum_{k=1}^\infty a_k\cos(kx)\cos(nx)\mathrm dx
+\int_0^{2\pi}\sum_{k=1}^\infty b_k\sin(kx)\cos(nx)\mathrm dx\\
&+\int_0^{2\pi}C\cos(nx)\mathrm dx\\
&=\sum_{k=1}^\infty a_k\int_0^{2\pi}\cos(kx)\cos(nx)\mathrm dx
+\sum_{k=1}^\infty b_k\int_0^{2\pi}\sin(kx)\cos(nx)\mathrm dx\\
&+\int_0^{2\pi}C\cos(nx)\mathrm dx\\
&=\sum_{k=1}^\infty a_k\pi\delta_{kn}+\sum_{k=1}^\infty b_k\cdot0+0\\
&=\pi a_{n}\\
\\
&\therefore\pi a_{n}=\int_0^{2\pi}f(x)\cos(nx)\mathrm dx\\
\end{aligned}
$$
$${b_n}$$も同様に
$$
\begin{aligned}
&\int_0^{2\pi}f(x)\sin(nx)\mathrm dx\\
&=\int_0^{2\pi}\left(\sum_{k=1}^\infty a_k\cos(kx)+\sum_{k=1}^\infty b_k\sin(kx)+C\right)\sin(nx)\mathrm dx\\
&=\int_0^{2\pi}\sum_{k=1}^\infty a_k\cos(kx)\sin(nx)\mathrm dx
+\int_0^{2\pi}\sum_{k=1}^\infty b_k\sin(kx)\sin(nx)\mathrm dx\\
&+\int_0^{2\pi}C\sin(nx)\mathrm dx\\
&=\sum_{k=1}^\infty a_k\int_0^{2\pi}\cos(kx)\sin(nx)\mathrm dx
+\sum_{k=1}^\infty b_k\int_0^{2\pi}\sin(kx)\sin(nx)\mathrm dx\\
&+\int_0^{2\pi}C\sin(nx)\mathrm dx\\
&=\sum_{k=1}^\infty a_k\cdot0+\sum_{k=1}^\infty b_k\pi\delta_{kn}+0\\
&=\pi b_{n}\\
\\
&\therefore\pi b_{n}=\int_0^{2\pi}f(x)\sin(nx)\mathrm dx\\
\end{aligned}
$$
という風に，三角関数の直交性を用いて$${a_n,b_n}$$だけキレイに取り出せました．
ジマ：Soー．定数項も求めてくんねー？
ペケ：$${C}$$は…$${f(0)}$$を計算すると…
$$
\begin{aligned}
f(0)
&=\sum_{k=1}^\infty a_k\cos(k\cdot0)+\sum_{k=1}^\infty b_k\sin(k\cdot0)+C\\
&=\sum_{k=1}^\infty a_k\cdot1+\sum_{k=1}^\infty b_k\cdot0+C\\
&=\sum_{k=1}^\infty a_k+C\\
\end{aligned}
$$
…あれ，ダメみたいですね．
ジマ：ｳﾍﾍﾍﾍ！！www
ペケ：違うのか．三角関数の部分をうまいこと全部消すには…
あぁ，一周期で積分すればいいのか．
$$
\begin{aligned}
&\int_0^{2\pi}f(x)\mathrm dx\\
&=\int_0^{2\pi}\left(\sum_{k=1}^\infty a_k\cos(kx)+\sum_{k=1}^\infty b_k\sin(kx)+C\right)\mathrm dx\\
&=\int_0^{2\pi}\sum_{k=1}^\infty a_k\cos(kx)\mathrm dx
+\int_0^{2\pi}\sum_{k=1}^\infty b_k\sin(kx)\mathrm dx
+\int_0^{2\pi}C\mathrm dx\\
&=\sum_{k=1}^\infty a_k\int_0^{2\pi}\cos(kx)\mathrm dx
+\sum_{k=1}^\infty b_k\int_0^{2\pi}\sin(kx)\mathrm dx
+\int_0^{2\pi}C\mathrm dx\\
&=\sum_{k=1}^\infty a_k\cdot0+\sum_{k=1}^\infty b_k\cdot0
+2\pi C\\
&=2\pi C\\
\\
&\therefore2\pi C=\int_0^{2\pi}f(x)\mathrm dx\\
\end{aligned}
$$
ジマ：教科書などでは，上の$${πa_n}$$を求める公式に則って
$$
\begin{aligned}
\int_0^{2\pi}f(x)\mathrm dx
&=\int_0^{2\pi}f(x)\cos(0x)\mathrm dx\\
&=\pi a_{0}\\
\end{aligned}
$$
と解釈して，$${C = a_0 / 2}$$としてたりもするな．
ペケ：あー，だから$${a_0}$$だけ$${1 / 2}$$が付いていたんすね．
ジマ：So－．では公式の意味も理解したことだし，練習で次のフーリエ級数展開を求めてみろ．
まず，$${f(x)=x \ (-\pi\leq x<\pi \ の部分を繰り返す)}$$としてフーリエ係数を求めてくれ．概形はこんな感じだよー．見た目からノコギリ波とも呼ばれるな．
ペケ：確かにノコギリの歯みたいですね．わかりました．一周期で積分すればいいから$${[-\pi,\pi)}$$で積分することを考えると， $${a_n}$$は，
$$
\begin{aligned}
&\pi a_{n}
=\int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)\mathrm dx=0\\
\\
&\therefore a_{n}=0
\end{aligned}
$$
奇関数だから計算するまでもなくゼロですね．
ジマ：概形と式からして奇関数だから偶数次項あるはずがないよねー．
ペケ：なるほど．$${b_n}$$は被積分関数が偶関数だから，
$$
\begin{aligned}
\pi b_{n}
&=\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)\mathrm dx\\
&=2\int_0^{\pi}x\sin(nx)\mathrm dx\\
&=2\left[\frac{-1}{n}x\cos(nx)\right]_0^{\pi}-2\int_0^{\pi}\frac{-1}{n}\cos(nx)\mathrm dx\\
&=-\frac{2}{n}\pi\cos(n\pi)-2\left[\frac{-1}{n^2}\sin(nx)\right]_0^{\pi}\\
&=-\frac{2}{n}\pi(-1)^n-0\\
\\
&\therefore b_{n}=-\frac{2}{n}\pi(-1)^n
\end{aligned}
$$
ですか．
ジマ：やーいやーい，右辺$${\pi}$$で割るの忘れてやんの！
教科書と違って，この書き方だといちいち$${1/\pi}$$書かなくてもよくなるけど，よく最後$${\pi}$$で割るの忘れるから気を付けろよな．
ペケくんはよく物忘れするからつけた方が良いかもねww
ペケ：すみませんでした．てことは$${b_n=-2(-1)^n/n}$$ですね．
最後$${C}$$は…概形と式からして浮いてないから明らかに切片ゼロですね．奇関数だし．
以上により，
$$
\begin{aligned}
f(x)=-2\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}\sin(kx)
\end{aligned}
$$
ですね？
ジマ：そォー．浮いてんのはペケくんだけ定期．んで右辺の$${x}$$に$${\pi/2}$$代入してみろ．
ペケ：ひどいよー．
えーと，$${\sin }$$は中身が偶数×$${\pi/2}$$でゼロになるから和を偶奇で分けて計算すると，
$$
\begin{aligned}
f\left(\frac{\pi}{2}\right)
&=-2\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}\sin\left(k\frac{\pi}{2}\right)\\
&=-2\sum_{l=0}^\infty\frac{(-1)^{2l+1}}{2l+1}\sin\left((2l+1)\frac{\pi}{2}\right)\\
&-2\sum_{l=1}^\infty\frac{(-1)^{2l}}{2l}\sin\left(2l\frac{\pi}{2}\right)\\
&=2\sum_{l=0}^\infty\frac{1}{2l+1}\sin\left(\pi l+\frac{\pi}{2}\right)-2\sum_{l=1}^\infty\frac{1}{2l}\sin\left(l\pi\right)\\
&=2\sum_{l=0}^\infty\frac{1}{2l+1}(-1)^{l}-0\\
&=2\sum_{l=0}^\infty\frac{(-1)^{l}}{2l+1}
\end{aligned}
$$
ジマ：で，$${f(\pi/2)}$$は？
ペケ：あ，$${-\pi\leq x<\pi}$$で$${f(x)=x }$$だから$${f(\pi/2)=\pi/2}$$か．
ジマ：てことは？
ペケ：てことは，
$$
\begin{aligned}
&2\sum_{l=0}^\infty\frac{(-1)^{l}}{2l+1}=\frac{\pi}{2}\\
\\
&\therefore \sum_{l=0}^\infty\frac{(-1)^{l}}{2l+1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots=\frac{\pi}{4}
\end{aligned}
$$
ですか．へー，奇数の逆数の交代和が$${\pi/4}$$に収束するんですね！
ん，これも入試で見たことあったような…
ジマ：Soー．いわゆるライプニッツ級数だね．大体誘導付きで3,4問目あたりで求めさせられるヤツ．
ペケ：こういう求め方もできるんですね．
ジマ：そォー．最後に$${x}$$に$${\pi}$$代入してみろ．
ペケ：$${f(\pi)}$$って定義から$${-\pi}$$じゃないんですか？
$$
\begin{aligned}
f(\pi)&=-2\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}\sin(k\pi)\\
&=-2\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}\cdot0\\
&=0
\end{aligned}
$$
あれ？
ジマ：これサァー．フーリエ級数の性質なんだけどSaー．展開後は周期の境目の値が，基本周期の端と端の値の平均値になるんだよねぇー．
ペケ：本来不連続な周期関数$${f(x)}$$を連続な三角関数の線形結合で表すんだから何となくそんな風になるような気がしてました．今回でいうと，$${(-\pi+\pi)/2=0}$$だからゼロってことですか？
ジマ：そォー．
ペケ：思ったんですが，これ三角関数をオイラーの公式で分解して$${e^{ikx}}$$の線形結合に直せませんかね．
ジマ：鋭い．やってみ給へ．
ペケ：
$$
\begin{aligned}
\cos(kx)&=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}\\
\sin(kx)&=\frac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}\\
\end{aligned}
$$
だから，
$$
\begin{aligned}
f(x)
&=\sum_{k=1}^\infty a_k\cos(kx)+\sum_{k=1}^\infty b_k\sin(kx)+C\\
&=\sum_{k=1}^\infty a_k\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}+\sum_{k=1}^\infty b_k\frac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}+C\\
&=\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k-ib_k}{2}e^{ikx}+\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k+ib_k}{2}e^{-ikx}+C
\end{aligned}
$$
$${c_k:=(a_k-ib_k)/2,c_{-k}:=(a_k+ib_k)/2,c_0:=C}$$とおくと，
$$
\begin{aligned}
f(x)
&=\sum_{k=1}^\infty c_ke^{ikx}+\sum_{k=1}^\infty c_{-k}e^{-ikx}+c_0\\
&=\sum_{k=1}^\infty c_ke^{ikx}+\sum_{k=1}^\infty c_{-k}e^{-ikx}+c_0e^{-i0}\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty c_ke^{ikx}\\
\\
&\therefore f(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty c_ke^{ikx}\\
\end{aligned}
$$
と表せますね．$${e^{ix}}$$も周期関数だからできるのね．
ジマ：これが複素フーリエ級数展開ってやつだね．重み$${c_n}$$のことを複素フーリエ係数っていうよー．
ペケ：これ，係数求めるの$${e^{ix}}$$の直交性を用いるといけそうでつね．
$${m\neq n}$$のとき，
$$
\begin{aligned}
\int_0^{2\pi}e^{i(m-n)x}\mathrm dx
=\left[\frac{1}{i(m-n)}e^{i(m-n)x}\right]_0^{2\pi}=\frac{1}{i(m-n)}(1-1)=0
\end{aligned}
$$
$${m = n}$$のとき，
$$
\begin{aligned}
\int_0^{2\pi}e^{i(m-m)x}\mathrm dx
=\int_0^{2\pi}\mathrm dx=2\pi
\end{aligned}
$$
だから，
$$
\begin{aligned}
\therefore \int_0^{2\pi}e^{i(m-n)x}\mathrm dx
=2\pi\delta_{mn}
\end{aligned}
$$
で，
$$
\begin{aligned}
\int_0^{2\pi}f(x)e^{-inx}\mathrm dx
&=\int_0^{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty c_ke^{ikx}e^{-inx}\mathrm dx\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k\int_0^{2\pi}e^{ikx}e^{-inx}\mathrm dx\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k\int_0^{2\pi}e^{i(k-n)x}\mathrm dx\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k\cdot2\pi \delta_{kn}\\
&=2\pi c_n\\
\\
\therefore 2\pi c_n&=\int_0^{2\pi}f(x)e^{-inx}\mathrm dx\\
\end{aligned}
$$
という感じですかね．
何だか，こないだまでやってた留数の計算みたいですね．
テーラー展開は，$${f(x)=\sum_k a_k(x-a)^k/k!}$$と展開できると仮定して，
微分によって$${a_k}$$を取り出すことで求められたけど，
フーリエ級数展開は，$${f(x)=\sum_k a_k\cos(kx)+\sum_k b_k\sin(kx)+C}$$と展開できると仮定して，
三角関数の直交性によって$${a_k,b_k,C}$$を取り出すことで求められるんですね！
ジマ：そうだよー．
ペケ：やっぱり．というかこれフーリエ級数展開したい周期関数の周期が$${2\pi}$$じゃなかったらどうするの？
ジマ：三角関数のほうの周期を強引に変えるよー．直交性によって係数取り出したいじゃん？．
周期$${T}$$だったらこうだよォー．
$$
\begin{aligned}
f(x)=\sum_{k=1}^\infty a_k\cos\left(k\frac{2\pi}{T}x\right)+\sum_{k=1}^\infty b_k\sin\left(k\frac{2\pi}{T}x\right)+C
\end{aligned}
$$
ペケ：てことは複素フーリエだと，
$$
\begin{aligned}
f(x)
&=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k\exp\left(ik\frac{2\pi}{T}x\right)\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty c_ke^{2\pi ikx/T}\\
\end{aligned}
$$
ですかね．
#1のまとめ
フーリエ級数展開は，周期関数を重み付けした三角関数の和で表す方法．
周期関数$${e^{ix}}$$を用いて複素フーリエ級数展開もできる．
フーリエ級数展開は，$${f(x)=\sum_k a_k\cos(kx)+\sum_k b_k\sin(kx)+C}$$と展開できると仮定し，三角関数の直交性によって$${a_k,b_k,C}$$を計算することで求める展開方法．
この動機まで抑えておくと係数の求め方を忘れない．
$${f(x)}$$をうまいこと設定すれば無限級数の和を求めることもできる．
フーリエ級数展開した関数は，周期の境目の値が，基本周期の端と端の値の平均値になる．
周期$${T}$$のフーリエ級数展開の見た目はややこしいが，三角関数の直交性によって係数取り出したいという動機まで抑えておくと忘れないし，自分で作れる．