レイリーの公式(平面波の部分波展開)
1.目的
平面波$${e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}}}$$を部分波展開すると次のようになる。
$$
e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}} = \sum_{\ell=0}^\infty{i^\ell (2\ell + 1) j_\ell (kr) P_\ell (\\\cos{\vartheta})}
$$
ここで$${j_\ell (kr)}$$は球ベッセル関数で、$${P_\ell (\cos{\vartheta})}$$はルジャンドル多項式である。上式はレイリーの公式と呼ばれるもので、この記事ではこの式の導出を行う。
2.導出
まず平面波$${e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}}}$$を完全系である球面調和関数$${Y_\ell^m(\vartheta,\varphi)}$$で展開すると、
$$
e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}} = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell a_\ell^m R_\ell (r) Y_\ell^m (\vartheta,\varphi)
$$
と表せる。ここで、平面波がシュレディンガー方程式の$${V(r)=0}$$における解であることから、$${R_\ell (r)}$$は球ベッセル関数$${j_\ell(kr)}$$であることが分かる。したがって、
$$
e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}} = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell a_\ell^m j_\ell (kr) Y_\ell^m (\vartheta,\varphi)
$$
となる。次に、簡単のために波数$${\bm{k}}$$と同じ向きに$${z}$$軸をとると、$${\bm{k}\cdot\bm{r}=kr\cos{\vartheta}}$$と表せる。ここで、平面波の$${z}$$軸方向の軌道角運動量$${\hat{L}_z}$$の固有値$${\hbar m}$$について考える。
$$
\begin{aligned}
\hat{L}_z e^{ikr\cos{\vartheta}} &= -i\hbar \frac{\partial}{\partial \varphi} e^{ikr\cos{\vartheta}}\\
&=0
\end{aligned}
$$
より、平面波の磁気量子数$${m}$$は0である。したがって、
$$
\begin{aligned}
e^{ikr\cos{\vartheta}} &= \sum_{\ell = 0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell a_\ell^m j_\ell (kr) Y_\ell^m(\vartheta,\varphi)\\
&= \sum_{\ell=0}^\infty a_\ell j_\ell (kr) P_\ell (\cos{\vartheta})
\end{aligned}
$$
となる。2行目の等号では$${Y_\ell^0(\vartheta,\varphi) = C\cdot P_\ell(\cos{\vartheta})}$$を用いて、さらに$${a_{\ell} = C\cdot a_{\ell}^{0}}$$とした。
次に、未知数である$${a_\ell}$$を求める。まず、上式を$${\rho(\equiv kr)}$$で微分すると
$$
i\cos{\vartheta} e^{i\rho\cos{\vartheta}} = \sum_{\ell = 0}^\infty a_\ell \frac{\partial j_\ell (\rho)}{\partial \rho}P_\ell (\cos{\vartheta})
$$
となり、左辺の$${e^{i\rho\cos{\vartheta}}}$$を再び$${P_\ell(\cos{\vartheta})}$$を用いて展開すると
$$
i\cos{\vartheta} \sum_{\ell=0}^\infty a_\ell j_\ell (\rho) P_\ell (\cos{\vartheta}) = \sum_{\ell = 0}^\infty a_\ell \frac{\partial j_\ell (\rho)}{\partial \rho}P_\ell (\cos{\vartheta})
$$
を得る。ここで、ルジャンドル多項式の漸化式
$$
(2\ell + 1)\cos{\vartheta} P_\ell(\cos{\vartheta}) = (\ell +1)P_{\ell+1}(\cos{\vartheta}) + \ell P_{\ell-1}(\cos{\vartheta})
$$
を用いると左辺は
$$
(左辺)=i \sum_{\ell=0}^\infty a_{\ell} j_{\ell}(\rho) \bigg[\frac{\ell + 1}{2\ell + 1} P_{\ell + 1}(\cos{\vartheta}) + \frac{\ell}{2\ell + 1} P_{\ell - 1}(\cos{\vartheta}) \bigg]
$$
となる。また第1項、第2項は
$$
\begin{aligned}
i \sum_{\ell=0}^\infty a_{\ell} j_{\ell}(\rho) \frac{\ell + 1}{2\ell + 1} P_{\ell + 1}(\cos{\vartheta})
&= i \sum_{\ell=-1}^\infty a_{\ell} j_{\ell}(\rho) \frac{\ell + 1}{2\ell + 1} P_{\ell + 1}(\cos{\vartheta}) \\
&= i \sum_{\ell=0}^\infty a_{\ell - 1} j_{\ell - 1}(\rho) \frac{\ell}{2\ell - 1} P_{\ell}(\cos{\vartheta}) \\
i \sum_{\ell=0}^\infty a_{\ell} j_{\ell}(\rho) \frac{\ell}{2\ell + 1} P_{\ell - 1}(\cos{\vartheta})
&= i \sum_{\ell=1}^\infty a_{\ell} j_{\ell}(\rho) \frac{\ell}{2\ell + 1} P_{\ell - 1}(\cos{\vartheta}) \\
&= i \sum_{\ell=0}^\infty a_{\ell + 1} j_{\ell + 1}(\rho) \frac{\ell + 1}{2\ell + 3} P_{\ell}(\cos{\vartheta})
\end{aligned}
$$
と変形でき(※)
$$
(左辺) = i \sum_{\ell=0}^\infty \bigg[ \frac{\ell}{2\ell - 1} a_{\ell - 1} j_{\ell - 1}(\rho) + \frac{\ell + 1}{2\ell + 3} a_{\ell + 1}j_{\ell + 1}(\rho) \bigg]P_{\ell}(\cos{\vartheta})
$$
と書き直せる。
(※)
第1項の1行目は$${\ell=-1}$$のとき$${(\ell+1)/(2\ell+1)=0}$$であることを用いた。2行目は$${\ell \rightarrow \ell-1 }$$とした。また、第2項の1行目では$${\ell=0}$$のとき$${\ell/(2\ell+1)=0}$$であることを用いた。2行目は$${\ell \rightarrow \ell+1 }$$とした。
一方、右辺は球ベッセル関数の漸化式
$$
(2\ell + 1) j_{\ell}(\rho) = \rho \Big[j_{\ell + 1}(\rho) + j_{\ell - 1}(\rho) \Big]
$$
を用いると
$$
\begin{aligned}
(右辺) &= \sum_{\ell = 0}^\infty a_{\ell} \bigg[ j_{\ell-1}(\rho) - \frac{\ell+1}{\rho}j_{\ell}(\rho) \bigg] P_{\ell}(\cos{\vartheta})\\
&= \sum_{\ell = 0}^\infty a_{\ell} \bigg[ j_{\ell-1}(\rho) - \frac{\ell+1}{\rho} \frac{\rho}{2\ell + 1} \Big[ j_{\ell+1}(\rho) - j_{\ell-1}(\rho) \Big] \bigg] P_{\ell}(\cos{\vartheta})\\
&= \sum_{\ell = 0}^\infty a_{\ell} \bigg[ \frac{\ell}{2\ell + 1}j_{\ell-1}(\rho) - \frac{\ell+1}{2\ell + 1} j_{\ell+1}(\rho) \bigg] P_{\ell}(\cos{\vartheta})
\end{aligned}
$$
となる。したがって、(左辺)=(右辺)より
$$
i\bigg[ \frac{\ell}{2\ell - 1} a_{\ell - 1} j_{\ell - 1}(\rho) + \frac{\ell + 1}{2\ell + 3} a_{\ell + 1}j_{\ell + 1}(\rho) \bigg] = a_{\ell} \bigg[ \frac{\ell}{2\ell + 1}j_{\ell-1}(\rho) - \frac{\ell+1}{2\ell + 1} j_{\ell+1}(\rho) \bigg]
$$
でなければならない。これを整理すると
$$
\begin{aligned}
\bigg[i \frac{\ell + 1}{2\ell + 3} a_{\ell + 1} + \frac{\ell + 1}{2\ell + 1} a_{\ell} \bigg]j_{\ell + 1}(\rho) &= \bigg[ \frac{\ell}{2\ell + 1}a_{\ell} - i \frac{\ell}{2\ell - 1} a_{\ell-1}(\rho) \bigg] j_{\ell - 1}(\rho) \\
(\ell + 1)\bigg[i \frac{1}{2\ell + 3} a_{\ell + 1} + \frac{1}{2\ell + 1} a_{\ell} \bigg]j_{\ell + 1}(\rho) &= \ell \bigg[ \frac{1}{2\ell + 1}a_{\ell} - i \frac{1}{2\ell - 1} a_{\ell-1}(\rho) \bigg] j_{\ell - 1}(\rho)
\end{aligned}
$$
となり、任意の$${\rho}$$で成り立つためには
$$
\begin{aligned}
i \frac{1}{2\ell + 3} a_{\ell + 1} + \frac{1}{2\ell + 1} a_{\ell} &= 0\\
\bigg( \frac{1}{2\ell + 1}a_{\ell} - i\frac{1}{2\ell - 1}a_{\ell - 1} &= 0 \bigg)
\end{aligned}
$$
を満たす必要がある。以上より
$$
a_{\ell+1} = i \frac{2\ell + 3}{2\ell + 1}a_{\ell}
$$
であることから
$$
a_{\ell} = i^{\ell} (2\ell + 1) a_{0}
$$
を得る。したがって
$$
e^{ikr\cos{\vartheta}} = \sum_{\ell=0}^\infty a_\ell j_\ell (kr) P_\ell (\cos{\vartheta})
$$
に代入すると
$$
e^{ikr\cos{\vartheta}} = a_0 \sum_{\ell=0}^\infty i^{\ell} (2\ell + 1) j_\ell (kr) P_\ell (\cos{\vartheta})
$$
を得る。ここで両辺に$${r=0}$$を代入すると
$$
\begin{aligned}
1 &= a_0 j_{0}(0) P_{0}(\cos{\vartheta}) + a_0 \sum_{\ell = 1}^\infty i^{\ell} (2\ell + 1) j_{\ell}(0) P_{\ell}(\cos{\theta})\\
&= a_0
\end{aligned}
$$
より$${a_0 = 1}$$とわかる。※1行目の右辺は$${\ell=0}$$の項と$${\ell>0}$$の項に分けて書いた。また、1行目から2行目の変形では$${j_{0}(0) = 1,\ j_{\ell \neq 0}(0) = 0,\ P_{0}(\cos{\vartheta}) = 1}$$を用いた。
以上よりレイリーの公式
$$
e^{ikr\cos{\vartheta}} = \sum_{\ell=0}^\infty i^{\ell} (2\ell + 1) j_\ell (kr) P_\ell (\cos{\vartheta})
$$
が得られた。
3.参考文献
砂川重信 著 『散乱の量子論』 岩波書店