散乱行列と接続条件

１．はじめに

　今回の記事では、最初にポテンシャル外部での波動関数$${\psi (\bm{r})}$$を記述する。その後、ポテンシャル内部の波動関数とポテンシャル外部の波動関数の接続条件から散乱行列$${S_{\ell}(k)}$$を計算する方法を示す。

２．ポテンシャル外部の波動関数

　前回の記事では部分波展開された波動関数の漸近条件

$$
\psi (\bm{r}) \rightarrow \frac{1}{2ikr} \sum_{\ell=0}^{\infty} (2\ell + 1) \Big[S_{\ell}(k) e^{ikr} - (-1)^{\ell} e^{-ikr} \Big] P_{\ell}(\cos{\vartheta})\quad (r \rightarrow \infty)
$$

を導出した。この節ではもう少し広い領域(ポテンシャル外部)での波動関数を導く。

　前提条件として、ポテンシャルは短距離ポテンシャルであると仮定し、ポテンシャルが有効な距離を$${a}$$と置く。例えば井戸型ポテンシャルならば井戸の半径が$${a}$$である。このとき、ポテンシャル外部(つまり$${V(r)=0}$$を満たす領域)での動径波動関数$${R_{\ell}(r)}$$は、球ハンケル関数$${h_{\ell}^{(\pm)}(kr)}$$を用いて

$$
R_{\ell}(r) = A_{\ell}h_{\ell}^{(+)}(kr) + B_{\ell}h_{\ell}^{(-)}(kr)
$$

と書ける。したがって、ポテンシャル外部での波動関数$${\psi ^{\text{out}}(\bm{r})}$$は

$$
\psi ^{\text{out}}(\bm{r}) = \sum_{\ell=0}^\infty \Big[ A_{\ell}^{'}h_{\ell}^{(+)}(kr) + B_{\ell}^{'}h_{\ell}^{(-)}(kr) \Big] P_{\ell}(\cos{\vartheta})
$$

と表せる。ここで、部分波展開する際の展開係数と動径波動関数の2つの係数$${A_{\ell}, B_{\ell}}$$をまとめて$${A_{\ell}^{'}, B_{\ell}^{'}}$$とした。

　次に、球ハンケル関数の漸近形と波動関数$${\psi (\bm{r})}$$の漸近条件から$${A_{\ell}^{'}, B_{\ell}^{'}}$$を決定する。球ハンケル関数の漸近形は

$$
\begin{aligned}
h_{\ell}^{(+)}(kr) &\rightarrow (-i)^{\ell+1}\frac{e^{ikr}}{kr} \\
h_{\ell}^{(-)}(kr) &\rightarrow i^{\ell+1}\frac{e^{-ikr}}{kr}
\end{aligned}
\quad (r \rightarrow \infty)
$$

である。したがって、$${\psi ^{\text{out}}(\bm{r})}$$の漸近形は

$$
\psi ^{\text{out}}(\bm{r}) \rightarrow \frac{1}{kr} \sum_{\ell=0}^\infty \Big[ A_{\ell}^{'}(-i)^{\ell+1}e^{ikr} + B_{\ell}^{'}i^{\ell+1}e^{-ikr} \Big] P_{\ell}(\cos{\vartheta})
$$

となる。これを$${\psi (\bm{r})}$$の漸近条件と比較し、係数$${A_{\ell}^{'}, B_{\ell}^{'}}$$を求めると

$$
A_{\ell}^{'} = \frac{2\ell + 1}{2}i^{\ell}S_{\ell}(k),\quad B_{\ell}^{'} = \frac{2\ell + 1}{2}i^{\ell}
$$

となり、$${\psi ^{\text{out}}(\bm{r})}$$は

$$
\psi ^{\text{out}}(\bm{r}) = \sum_{\ell=0}^\infty i^{\ell} \frac{2\ell + 1}{2} \Big[ S_{\ell}(k) h_{\ell}^{(+)}(kr) + h_{\ell}^{(-)}(kr) \Big] P_{\ell}(\cos{\vartheta})
$$

となる。また、$${R_{\ell}(r)}$$は

$$
R_{\ell}(r) \propto S_{\ell}(k) h_{\ell}^{(+)}(kr) + h_{\ell}^{(-)}(kr)
$$

であることもわかる。

２．接続条件

　ポテンシャルの境界$${(r=a)}$$での動径波動関数$${R_{\ell}(r)}$$の接続条件から散乱行列を求める。ポテンシャル内部の動径波動関数を$${R_{\ell}^{\text{in}}(r)}$$、外部の動径波動関数を$${R_{\ell}^{\text{out}}(r)}$$とすると接続条件は

$$
\left. \frac{ \frac{\text{d}R_{\ell}^{\text{in}}(r)}{\text{d}r} }{R_{\ell}^{\text{in}}(r)} \right|_{r=a} = \left. \frac{ \frac{\text{d}R_{\ell}^{\text{out}}(r)}{\text{d}r} }{R_{\ell}^{\text{out}}(r)} \right|_{r=a}
$$

である。あるいは$${R_{\ell}(r)=\frac{u_{\ell}(r)}{r}}$$における$${u_{\ell}(r)}$$を用いて

$$
\left. \frac{ \frac{\text{d}u_{\ell}^{\text{in}}(r)}{\text{d}r} }{u_{\ell}^{\text{in}}(r)} \right|_{r=a} = \left. \frac{ \frac{\text{d}u_{\ell}^{\text{out}}(r)}{\text{d}r} }{u_{\ell}^{\text{out}}(r)} \right|_{r=a}
$$

でも良い。ここでは後者を使う。ポテンシャル外部の波動関数$${u_{\ell}^{\text{out}}(r)}$$は

$$
u_{\ell}^{\text{out}}(r) \propto S_{\ell}H_{\ell}^{(+)}(kr) + H_{\ell}^{(-)}(kr)
$$

である。ここで、$${H_{\ell}^{(\pm)}(kr)}$$はリカッチハンケル関数である(※$${R_{\ell}(r)}$$から$${u_{\ell}(r)}$$に変更したために球ハンケル関数からリカッチハンケル関数に変わった)。上式を用いると、接続条件の右辺は計算可能である。一方で、左辺に含まれる$${u_{\ell}^{\text{in}}(r)}$$はポテンシャルの形に依存するため、具体的にポテンシャルを決めないと計算できない。そこで、煩雑になるのを避けるために

$$
\frac{ f_{\ell}^{\text{in}}(k^{'}r) }{r} \equiv \frac{ \frac{\text{d}u_{\ell}^{\text{in}}(r)}{\text{d}r} }{u_{\ell}^{\text{in}}(r)}
$$

と置く。$${k^{'}}$$はポテンシャル内部での波数を表す。そうすると接続条件は次のように書ける。

$$
\begin{aligned}
\left. \frac{ f_{\ell}^{\text{in}}(k^{'}r) }{r} \right|_{r=a} &= \left. \frac{ S_{\ell}\frac{\text{d}H_{\ell}^{(+)}(kr)}{\text{d}r} + \frac{\text{d}H_{\ell}^{(-)}(kr)}{\text{d}r} }{S_{\ell}H_{\ell}^{(+)}(kr) + H_{\ell}^{(-)}(kr)} \right|_{r=a} \\
&= \left. k\frac{ S_{\ell}\frac{\text{d}H_{\ell}^{\text{(+)}}(kr)}{\text{d}(kr)} + \frac{\text{d}H_{\ell}^{(-)}(kr)}{\text{d}(kr)} }{S_{\ell}H_{\ell}^{(+)}(kr) + H_{\ell}^{(-)}(kr)} \right|_{r=a} \\
&\equiv \left. k\frac{ S_{\ell}H_{\ell}^{(+)'}(kr) + H_{\ell}^{(-)'}(kr) }{S_{\ell}H_{\ell}^{(+)}(kr) + H_{\ell}^{(-)}(kr)} \right|_{r=a}
\end{aligned}
$$

これを$${S_{\ell}}$$について解くと

$$
\begin{aligned}
f_{\ell}^{\text{in}}(k^{'}r) \left. \Big[ S_{\ell}H_{\ell}^{(+)}(kr) + H_{\ell}^{(-)}(kr) \Big] \right|_{r=a} &= \left. kr \Big[ S_{\ell}H_{\ell}^{(+)'}(kr) + H_{\ell}^{(-)'}(kr) \Big] \right|_{r=a} \\
\left. S_{\ell}\Big[ f_{\ell}^{\text{in}}(k^{'}r) H_{\ell}^{(+)}(kr) - kr H_{\ell}^{(+)'}(kr) \Big] \right|_{r=a} &= \left. -\Big[ f_{\ell}^{\text{in}}(k^{'}r) H_{\ell}^{(-)}(kr) - ka H_{\ell}^{(-)'}(kr) \Big] \right|_{r=a} \\
S_{\ell} &= \left. -\frac{f_{\ell}^{\text{in}}(k^{'}r) H_{\ell}^{(-)}(kr) - kr H_{\ell}^{(-)'}(kr)}{f_{\ell}^{\text{in}}(k^{'}r) H_{\ell}^{(+)}(kr) - kr H_{\ell}^{(+)'}(kr)}\right|_{r=a}
\end{aligned}
$$

を得る。したがってポテンシャルの形が決まれば、解析計算あるいは数値計算で$${f_{\ell}^{\text{in}}(k^{'}a)}$$を求めることで散乱行列$${S_{\ell}}$$が得られる。

　最後に、今後書く予定の記事のメモ書きも兼ねて$${\ell = 0}$$における散乱行列の表式を導いておく。$${\ell=0}$$のときリカッチハンケル関数は

$$
H_{\ell=0}^{(\pm)}(kr) = \mp i e^{\pm ikr}
$$

であるから

$$
\begin{aligned}
S_{\ell=0} &= \left. -\frac{f_{\ell}^{\text{in}}(k^{'}r) i e^{-ikr} - kr e^{-ikr}}{f_{\ell}^{\text{in}}(k^{'}r) (-i e^{ikr}) - kr e^{ikr}}\right|_{r=a} \\
&= \left. e^{-2ikr} \frac{f_{\ell}^{\text{in}}(k^{'}r) - ikr}{f_{\ell}^{\text{in}}(k^{'}r) - ikr}\right|_{r=a} \\
&= e^{-2ika} \frac{f_{\ell}^{\text{in}}(k^{'}a) - ika}{f_{\ell}^{\text{in}}(k^{'}a) - ika}
\end{aligned}
$$

となる。

３．参考文献

砂川重信 著 『散乱の量子論』 岩波書店
野上茂吉郎 著 『原子核』 裳華房