ヨスト関数法

2024年3月27日 23:37

１．はじめに

　今回の記事では散乱行列の計算手法の１つであるヨスト関数法(Jost function method)について説明する。まず準備としてヨスト関数とヨスト解について述べ、そのあとにヨスト関数法の説明を行う。似た名前の用語や似た式が出てくるため注意が必要である。

２．ヨスト関数とヨスト解

　動径シュレディンガー方程式は次式で表される。

$$
\bigg[ \frac{ \partial^2 }{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} - \frac{\ell(\ell + 1)}{r^2} + k^2 \bigg] R_{\ell}(r) = \frac{2\mu}{\hbar^2}U(r)R_{\ell}(r)
$$

ここで、$${u_{\ell}(r) = rR_{\ell}(r)}$$を用いると

$$
\bigg[ \frac{ \partial^2 }{\partial r^2} - \frac{\ell(\ell + 1)}{r^2} + k^2 \bigg] u_{\ell}(r) = \frac{2\mu}{\hbar^2}U(r)u_{\ell}(r)
$$

を得る。この方程式の1次独立な解であり、かつ漸近領域で$${e^{\pm ikr}}$$となる関数をヨスト解$${\chi_{\ell}^{(\pm)}(k,r)}$$と定義する。ここで関数$${u_{\ell}(r)}$$を

$$
u_{\ell}(r) = \frac{1}{2} \Big[ f_{\ell}^{(+)}(k) \chi_{\ell}^{(+)}(k,r) - f_{\ell}^{(-)}(k) \chi_{\ell}^{(-)}(k,r) \Big]
$$

と表すことにする。このときのヨスト解の係数$${f_{\ell}^{(\pm)}(k)}$$をヨスト関数とよぶ。また、散乱行列$${S_{\ell}(k)}$$は波動関数の漸近条件と比較することで

$$
S_{\ell}(k) = (-1)^{\ell} \frac{ f_{\ell}^{(+)}(k) }{ f_{\ell}^{(-)}(k) }
$$

となることがわかる。また、この式から$${f_{\ell}^{(-)}(k)=0}$$のときに散乱行列は発散することがわかる。※$${u_{\ell}(r)}$$が恒等的に0になる解は除くので$${f_{\ell}^{(+)}(k)=0}$$かつ$${f_{\ell}^{(-)}(k)=0}$$とはならない。

　しかしながら上記のヨスト解・ヨスト関数を求めるのは面倒である。そこで、波動関数$${u_{\ell}(r)}$$や散乱行列$${S_{\ell}(r)}$$を簡単に求められる手法が次に説明するヨスト関数法[1-3]である。

３．ヨスト関数法

　ヨスト関数法[1-3]は散乱行列を計算するのに有用な計算手法である。シュレディンガー方程式を定数変化法を用いて変形することで、1階の微分方程式を解くだけで波動関数や散乱行列が求められるようになる。※ここでは簡単のために原子核と中性子の2体系を想定する。(クーロンポテンシャルを考えない。)

　では初めに$${u_{\ell}(r)}$$についてのシュレディンガー方程式において、右辺を0とした方程式を考える。この方程式の基本解はリカッチハンケル関数$${H_{\ell}^{(\pm)}(kr)}$$となることが知られている。したがって、定数変化法より元の方程式の一般解は

$$
u_{\ell}(r) = \frac{1}{2} \Big[ F_{\ell}^{(+)}(k,r)H_{\ell}^{(+)}(kr) + F_{\ell}^{(-)}(k,r)H_{\ell}^{(-)}(kr) \Big]
$$

と表せると期待する。さらに拘束条件

$$
\frac{ \partial F_{\ell}^{(+)}(k,r)}{\partial r} H_{\ell}^{(+)}(kr) + \frac{ \partial F_{\ell}^{(-)}(k,r)}{\partial r} H_{\ell}^{(-)}(kr) = 0
$$

を仮定する。もし、この仮定の下で解が見つかれば解の一意性からそれが求めたかった解であるといえるだろう(多分)。これらの式をシュレディンガー方程式に代入すると

$$
\bigg[ \frac{ \partial^2 }{\partial r^2} - \frac{\ell(\ell + 1)}{r^2} + k^2 \bigg] \Big[ F_{\ell}^{(+)}(k,r)H_{\ell}^{(+)}(kr) + F_{\ell}^{(-)}(k,r)H_{\ell}^{(-)}(kr) \Big] = \frac{2\mu}{\hbar^2}U(r) \Big[ F_{\ell}^{(+)}(k,r)H_{\ell}^{(+)}(kr) + F_{\ell}^{(-)}(k,r)H_{\ell}^{(-)}(kr) \Big]
$$

となる。※ここからは煩雑になるのを避けるため引数を省略する場合がある。また$${r}$$の$${n}$$階偏微分を$${\partial_r^n}$$と表すことにする($${n=1}$$のとき、$${1}$$は省略する)。まず左辺の第1項を計算すると

$$
\partial_{r}^{2} \Big[ F_{\ell}^{(+)} H_{\ell}^{(+)} + F_{\ell}^{(-)} H_{\ell}^{(-)} \Big] = \partial_{r} \Big[ F_{\ell}^{(+)} \partial_{r} H_{\ell}^{(+)} + F_{\ell}^{(-)} \partial_{r} H_{\ell}^{(-)} + \big(\partial_{r} F_{\ell}^{(+)}\big) H_{\ell}^{(+)} + \big(\partial_{r} F_{\ell}^{(-)}\big) H_{\ell}^{(-)} \Big]
$$

を得る。右辺第3項と第4項の和は拘束条件より0である。さらに計算を進めると

$$
\partial_{r}^{2} \Big[ F_{\ell}^{(+)} H_{\ell}^{(+)} + F_{\ell}^{(-)} H_{\ell}^{(-)} \Big] = \partial_{r} \Big[ F_{\ell}^{(+)} \partial_{r}^{2} H_{\ell}^{(+)} + F_{\ell}^{(-)} \partial_{r}^{2} H_{\ell}^{(-)} + \big(\partial_{r} F_{\ell}^{(+)}\big) \partial_{r} H_{\ell}^{(+)} + \big(\partial_{r} F_{\ell}^{(-)}\big) \partial_{r} H_{\ell}^{(-)} \Big]
$$

が得られる。ここでリカッチハンケル関数は既に言及したように$${V(r)=0}$$でのシュレディンガー方程式の解であるから

$$
\bigg[\partial_{r}^{2} - \frac{\ell(\ell + 1)}{r^2} + k^2\bigg] H_{\ell}^{(\pm)} = 0
$$

を満たす。このことに注意して元のシュレディンガー方程式に立ち返ると

$$
\partial_{r} F_{\ell}^{(+)} \partial_{r} H_{\ell}^{(+)} + \partial_{r} F_{\ell}^{(-)} \partial_{r} H_{\ell}^{(-)} = \frac{2\mu}{\hbar^2}U(r) \Big[ F_{\ell}^{(+)} H_{\ell}^{(+)} + F_{\ell}^{(-)} H_{\ell}^{(-)} \Big]
$$

が得られる。さらに両辺に$${H_{\ell}^{(-)}}$$を掛けると、左辺は

$$
\begin{aligned}
H_{\ell}^{(-)} \Big[ \partial_{r} F_{\ell}^{(+)} \partial_{r} H_{\ell}^{(+)} + \partial_{r} F_{\ell}^{(-)} \partial_{r} H_{\ell}^{(-)} \Big] &= \big(\partial_{r} F_{\ell}^{(+)}\big) H_{\ell}^{(-)} \partial_{r} H_{\ell}^{(+)} + \big(\partial_{r} F_{\ell}^{(-)}\big) H_{\ell}^{(-)} \partial_{r} H_{\ell}^{(-)} \\
&= \big(\partial_{r} F_{\ell}^{(+)}\big) H_{\ell}^{(-)} \partial_{r} H_{\ell}^{(+)} - \big(\partial_{r} F_{\ell}^{(+)}\big) H_{\ell}^{(+)} \partial_{r} H_{\ell}^{(-)} \\
&= \Big[H_{\ell}^{(-)} \partial_{r} H_{\ell}^{(+)} - H_{\ell}^{(+)} \partial_{r} H_{\ell}^{(-)}\Big]\partial_{r} F_{\ell}^{(+)} \\
&= 2ik \partial_{r} F_{\ell}^{(+)}
\end{aligned}
$$

となる。2行目の等式では拘束条件を用いた。最終行ではリカッチハンケル関数のロンスキアンを用いた。※ロンスキアンの部分は文献[4]を参考にしながらリカッチハンケル関数のロンスキアンの計算をすると良い。ただし、リカッチノイマン関数の定義(符号)に注意。具体的にはリカッチハンケル関数$${H_{\ell}^{(\pm)}}$$は文献の文字を用いて$${H_{\ell}^{(\pm)}=\psi_{n}\mp i\chi_{n}}$$と表される。

　以上よりシュレディンガー方程式は

$$
\frac{\partial F_{\ell}^{(+)}(k,r) }{\partial r} = \frac{\mu}{ik \hbar^2} H_{\ell}^{(-)}(kr) U(r) \Big[ F_{\ell}^{(+)}(k,r) H_{\ell}^{(+)}(kr) + F_{\ell}^{(-)}(k,r) H_{\ell}^{(-)}(kr) \Big]
$$

という1階偏微分方程式に帰着した。同様に

$$
\frac{\partial F_{\ell}^{(-)}(k,r) }{\partial r} = -\frac{\mu}{ik \hbar^2} H_{\ell}^{(+)}(kr) U(r) \Big[ F_{\ell}^{(+)}(k,r) H_{\ell}^{(+)}(kr) + F_{\ell}^{(-)}(k,r) H_{\ell}^{(-)}(kr) \Big]
$$

が得られる。まとめて書くと

$$
\frac{\partial F_{\ell}^{(\pm)}(k,r) }{\partial r} = \pm \frac{\mu}{ik \hbar^2} H_{\ell}^{(\mp)}(kr) U(r) \Big[ F_{\ell}^{(+)}(k,r) H_{\ell}^{(+)}(kr) + F_{\ell}^{(-)}(k,r) H_{\ell}^{(-)}(kr) \Big]
$$

となる。ここで右辺に$${1/k}$$が含まれているため複素波数平面での原点は特異点となっている。この方程式を解いて$${F_{\ell}^{(\pm)}(k,r)}$$が求まれば$${u_{\ell}(r)}$$が得られる。さらにこの$${u_{\ell}(r)}$$の漸近形と2節での$${u_{\ell}(r)}$$の漸近形を比較すれば漸近領域での$${F_{\ell}^{(\pm)}(k,r)}$$はヨスト関数$${f_{\ell}^{(\pm)}(k)}$$に比例することがわかる。すなわち漸近領域で$${F_{\ell}^{(\pm)}(k,r)}$$は$${r}$$に依存せず$${k}$$のみに依存する$${(\equiv F_{\ell}^{(\pm)}(k))}$$。

　次に前回の記事でのポテンシャル外の波動関数$${u_{\ell}^{\text{out}}(r)}$$

$$
u_{\ell}^{\text{out}}(r) \propto S_{\ell}(k) H_{\ell}^{(+)}(kr) + H_{\ell}^{(-)}(kr)
$$

と比較すると

$$
S_{\ell}(k) = \frac{F_{\ell}^{(+)}(k)}{F_{\ell}^{(-)}(k)}
$$

となる。散乱行列は$${r}$$に依存しないため、そのことが分かりやすいように$${F_{\ell}^{(\pm)}(k)}$$を用いて記述した。

４．ヨスト関数と散乱行列の性質

　シュレディンガー方程式

において$${k \rightarrow -k}$$とすると

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial F_{\ell}^{(\pm)}(-k,r) }{\partial r} &= \mp \frac{\mu}{ik \hbar^2} H_{\ell}^{(\mp)}(-kr) U(r) \Big[ F_{\ell}^{(+)}(-k,r) H_{\ell}^{(+)}(-kr) + F_{\ell}^{(-)}(-k,r) H_{\ell}^{(-)}(-kr) \Big]\\
&= \mp \frac{\mu}{ik \hbar^2} H_{\ell}^{(\pm)}(kr) U(r) \Big[ F_{\ell}^{(+)}(-k,r) H_{\ell}^{(-)}(kr) + F_{\ell}^{(-)}(-k,r) H_{\ell}^{(+)}(kr) \Big]\\
&= \mp \frac{\mu}{ik \hbar^2} H_{\ell}^{(\pm)}(kr) U(r) \Big[ F_{\ell}^{(-)}(-k,r) H_{\ell}^{(+)}(kr) + F_{\ell}^{(+)}(-k,r) H_{\ell}^{(-)}(kr) \Big]
\end{aligned}
$$

となる。元の微分方程式と比較すると

$$
F_{\ell}^{(\pm)}(k,r) = F_{\ell}^{(\mp)}(-k,r)
$$

が成り立つことがわかる。したがって、

$$
F_{\ell}^{(\pm)}(k) = F_{\ell}^{(\mp)}(-k)
$$

も成り立つ。さらに散乱行列にこの性質を適用すると

$$
\begin{aligned}
S_{\ell}(k) &= \frac{F_{\ell}^{(+)}(k)}{F_{\ell}^{(-)}(k)}\\
&= \frac{F_{\ell}^{(-)}(-k)}{F_{\ell}^{(+)}(-k)}\\
&= \frac{1}{S_{\ell}(-k)}
\end{aligned}
$$

が成り立つ。これを(後のために)性質1と呼ぶこととする。

　次に実ポテンシャルの場合にのみ成り立つ性質を示す。
シュレディンガー方程式

において$${k \rightarrow -k^{*}}$$とすると

$$
\frac{\partial F_{\ell}^{(\pm)}(-k^*,r) }{\partial r} = \mp \frac{\mu}{ik^* \hbar^2} H_{\ell}^{(\pm)}(k^*r) U(r) \Big[ F_{\ell}^{(+)}(-k^*,r) H_{\ell}^{(-)}(k^*r) + F_{\ell}^{(-)}(-k^*,r) H_{\ell}^{(+)}(k^*r) \Big]
$$

となり、両辺の複素共役をとると

$$
\frac{\partial F_{\ell}^{(\pm)*}(-k^*,r) }{\partial r} = \pm \frac{\mu}{ik \hbar^2} H_{\ell}^{(\mp)}(kr) U(r) \Big[ F_{\ell}^{(+)*}(-k^*,r) H_{\ell}^{(+)}(kr) + F_{\ell}^{(-)}(-k^*,r) H_{\ell}^{(-)}(kr) \Big]
$$

となる。したがって

$$
F_{\ell}^{(\pm)}(k,r) = F_{\ell}^{(\pm)*}(-k^*,r)
$$

が成り立つ。また、

$$
F_{\ell}^{(\pm)}(k) = F_{\ell}^{(\pm)*}(-k^*)
$$

も成り立ち、これを散乱行列に適用すると

$$
\begin{aligned}
S_{\ell}(k) &= \frac{F_{\ell}^{(+)}(k)}{F_{\ell}^{(-)}(k)}\\
&= \frac{F_{\ell}^{(+)*}(-k^*)}{F_{\ell}^{(-)*}(-k^*)}\\
&= S_{\ell}^{*}(-k^*)
\end{aligned}
$$

が成り立つ。これを性質2と呼ぶこととする。

　最後に、実ポテンシャルの場合に$${k \in \R}$$で$${|S_{\ell}(k)|=1}$$となることとポテンシャルが実数かによらず$${k=0}$$で$${S_{\ell}(k)=1}$$となることを示す。

$$
\begin{aligned}
|S_{\ell}(k)|^2 &= S_{\ell}(k)S_{\ell}^{*}(k)\\
&= S_{\ell}(k)S_{\ell}(-k^*)\\
&= S_{\ell}(k)S_{\ell}(-k)\\
&=1
\end{aligned}
$$

ここで、2行目の等号では性質2を用いて、3行目の等号は$${k \in \R}$$であること、4行目の等号は性質1を用いた。以上より

$$
|S_{\ell}(k)|=1
$$

である。また、上記の証明で実ポテンシャルのみで成り立つ性質2を用いているため、この性質は複素ポテンシャルの場合には一般に成り立たない。

　一方、$${k=0}$$では実ポテンシャル・複素ポテンシャルの両方で成り立つ性質１より

$$
S_{\ell}(0)=1
$$

である。これは

$$
\begin{aligned}
\lim_{k \rightarrow 0} \text{Re}\big[S_{\ell}(k)\big] &= 1\\
\lim_{k \rightarrow 0} \text{Im}\big[S_{\ell}(k)\big] &= 0
\end{aligned}
$$

を意味する。

５．ヨスト関数法の解析性

　3節で得た関数$${F_{\ell}^{(\pm)}(k,r)}$$はポテンシャルによって解析的な領域が定まることが知られている。3節で導いた方程式

について考える。未知関数$${F_{\ell}^{(\pm)}(k,r)}$$は漸近領域で$${r}$$依存性を失い$${F_{\ell}^{(\pm)}(k)}$$となるので、漸近領域において左辺と右辺はそれぞれ

$$
\begin{aligned}
(左辺) &= 0 \\
(右辺) &= \frac{\mu}{ik \hbar^2} (\mp i)^{\ell+1} e^{\mp ikr} U(r) \Big[ (-i)^{\ell + 1} e^{ikr} F_{\ell}^{(+)}(k) + i^{\ell + 1} e^{-ikr} F_{\ell}^{(-)}(k) \Big]
\end{aligned}
$$

となる。左辺と右辺が任意の$${k}$$で等しくなるためには

$$
F_{\ell}^{(\pm)}(k) = 0
$$

が成り立つか、あるいは漸近領域において

$$
U(r) e^{\pm 2ikr} =0
$$

が成り立つ必要がある。しかし前者は波動関数が恒等的に$${0}$$となることを意味するため不適である。したがって、後者の条件が満たすべき要請である。ここで、実数$${\alpha,\beta}$$を用いて$${k=\alpha + i\beta}$$と置くと、要請は「$${U(r)}$$は漸近領域において$${e^{-2|\beta|r}}$$より早く収束しなければならない。」と言い換えられる。この要請を満たす範囲で解析的である。

５．参考文献

[1]H. Masui, S. Aoyama, T. Myo, K. Kat$${\bar{\text{o}}}$$, K. Ikeda, Nucl. Phys. A 673 (2000) 207-218
[2]S. A. Sofianos, S. A. Rakityansky, J. Phys. A 30 (1997) 3725
[3]S. A. Rakityansky, S. A. Sofianos, J. Phys. A 31 (1998) 5149
[4]https://ieyasu03.web.fc2.com/PhysicsMath/53-Bessel_9.pdf