散乱問題の漸近条件

１．はじめに

　今回の記事では散乱問題の漸近条件とその部分波展開した式の導出を行う。

２．散乱問題

　散乱問題でのシュレディンガー方程式は

$$
-\frac{\hbar^2}{2\mu} \bigg( \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} - \frac{\hat{L}^2}{\hbar^2 r^2} \bigg) \psi (\bm{r}) + U(r)\psi (\bm{r}) = E\psi (\bm{r})
$$

と表される。ここで

$$
E = \frac{\hbar^2 k^2}{2\mu},\quad U(r) = \frac{2\mu}{\hbar^2}V(r)
$$

とおくと

$$
\bigg[ \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} - \frac{\hat{L}^2}{\hbar^2 r^2} - V(r) +k^2 \bigg]\psi (\bm{r})
$$

と書き直せる。散乱問題は入射波数$${k}$$を手で与えて計算するという点で、固有値問題とは異なる。

３．漸近条件

　散乱問題では上の方程式を散乱現象に即応した漸近条件の下で解く。その漸近条件は次式で表される。

$$
\psi (\bm{r}) \rightarrow e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}} + f(\vartheta)\frac{e^{ikr}}{r}\quad (r \rightarrow \infty)
$$

右辺第1項は入射平面波を表し、右辺第2項は散乱球面波を表す。

４．漸近条件の部分波展開

　漸近条件の第1項(平面波)の部分波展開は前回の記事で示したレイリーの公式を用いて

$$
e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}} = \sum_{\ell=0}^\infty i^{\ell} (2\ell + 1) j_{\ell}(kr) P_{\ell}(\cos{\vartheta})
$$

と表せる。ここで球ベッセル関数の漸近形

$$
j_{\ell}(kr) \rightarrow \frac{\sin{(kr-\frac{\pi}{2}\ell)}}{kr}\quad (r \rightarrow \infty)
$$

を代入すると

$$
\begin{aligned}
e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}} &\rightarrow \sum_{\ell=0}^\infty i^{\ell} (2\ell + 1) \frac{\sin{(kr-\frac{\pi}{2}\ell)}}{kr} P_{\ell}(\cos{\vartheta})\\
&= \frac{1}{kr} \sum_{\ell=0}^\infty i^{\ell} (2\ell + 1) \frac{ e^{i(kr-\frac{\pi}{2}\ell)} - e^{-i(kr-\frac{\pi}{2}\ell)} }{ 2i } P_{\ell}(\cos{\vartheta})\\
&= \frac{1}{2ikr} \sum_{\ell=0}^\infty e^{i\frac{\pi}{2}\ell} (2\ell + 1) \Big[ e^{ikr}e^{-i\frac{\pi}{2}\ell} - e^{-ikr}e^{i\frac{\pi}{2}\ell} \Big] P_{\ell}(\cos{\vartheta})\\
&= \frac{1}{2ikr} \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell + 1) \Big[ e^{ikr} - e^{-ikr}e^{i\pi\ell} \Big] P_{\ell}(\cos{\vartheta})\\
&= \frac{1}{2ikr} \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell + 1) \Big[ e^{ikr} - (-1)^{\ell}e^{-ikr} \Big] P_{\ell}(\cos{\vartheta})
\end{aligned}
$$

が得られる。続いて、散乱振幅$${f(\vartheta)}$$の部分波展開を行う。完全系であるルジャンドル多項式$${P_{\ell}(\cos{\vartheta})}$$と未知関数$${S_{\ell}(k)}$$を用いて次のように展開する。

$$
f(\vartheta) = \sum_{\ell=0}^\infty \frac{2\ell + 1}{2ik} \big[ S_{\ell}(k) - 1 \big]P_{\ell}(\cos{\vartheta})
$$

漸近条件をきれいにまとめるため、天下り的にこのような展開係数の置き方をした。実際に部分波展開した漸近条件を書き下すと

$$
\psi (\bm{r}) \rightarrow \frac{1}{2ikr} \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell + 1) \big[ S_{\ell}(k)e^{ikr} - (-1)^{\ell}e^{-ikr} \big]P_{\ell}(\cos{\vartheta})
$$

となる。以上で漸近条件の部分波展開ができた。また、$${S_{\ell}(k)}$$は散乱行列という。(行列という名前がついているが、ここでは単なる$${k}$$の関数である。)

５．参考文献

砂川重信 著 『散乱の量子論』 岩波書店