回転の回転は回転:物理数学:群論

前回は"回転とは何か"と言う大それた話題で話をした．ざっくりと

・回転とは長さを変えない変換
・n次元空間の回転はSO(n)群で表される
・SO(2)は二次元回転で，微小変換が存在する

と言う話をしたのだった．前回は二次元回転の話で終わったのだが，現実は三次元だ．今日は群の性質と三次元の回転について．

はじめに群(ぐん)とは何かを話しておこうと思う．群とは次の性質を満たすものだ．数学的には

・集合Gの任意の元g1,g2に対して二項演算g1*g2も集合Gの元
・任意の元g1,g2,g3に対して(g1*g2)*g3=g1*(g2*g3)
・任意の元gに対して単位元eが存在する:g*e=e*g=g
・任意の元gに対して逆元g^-1が存在する:g*g^-1=g^-1*g=e

を満たす集合Gが群だ．

......わからん！もっと人間の言葉で話そう．

まずは群がどう言う心から生まれてきたかについて．数学は目の前のことを抽象化し，不要なものをどんどん取り除いて残る何かを，曖昧さなく語る学問だ．群とは掛け算のさらに抽象化されたものだ．

掛け算とは何だろうか．2×3=6...．掛け算とは数字と数字を別の数字に対応させる操作だ．その"操作をしますよ〜"マークが"×"だ．これを数学的に曖昧さなく言ったのが

・集合Gの任意の元g1,g2に対して二項演算g1*g2も集合Gの元

だ．数字と言う集まり(集合G)の中の二つの数字g1:2,g2:3に対して二項演算"×"があって，その掛け算の結果である6も数字と言う集まりの中に入っている．回転の例で言えば，ある角度g1の回転と角度g2の回転をやったら，その結果はまた別の角度の回転になっていると言うことだ．おぉ，なんかわかる...かも．

・任意の元g1,g2,g3に対して(g1*g2)*g3=g1*(g2*g3)

だが，これは掛け算は掛け算する順番を気にしなくていいと言うことだ．2*(3*4)＝2*12=(2*3)*4 だ．注意すべきは元の順番は入れ替わっていないと言うことだ．これは数字と掛け算ではわからないと思う．三次元回転まで待ってくれ．

・任意の元gに対して単位元eが存在する:g*e=e*g=g

これは単位元とは"何もしない"と言うことだ．掛け算は1をかければ何も変わらない．回転については，0度の回転は何もしないと言うことだ．

・任意の元gに対して逆元g^-1が存在する:g*g^-1=g^-1*g=e

これは簡単だろう．合わせて"何もしない"になるペアが必ず存在すると言うことだ．回転なら，逆回転が必ずあると言うことだ．

何で数学は抽象化に抽象化を重ねるかと言えば，普段何気なくやっている操作もよくよく考えると結局何をしているかを真面目に考えるからだ．普段何気なく歩き，食べ，寝ているが，真面目に考えれば，どうやって歩くのか，食べるとは何か，眠るとはどう言う状態か，説明できるだろうか？それに挑戦するのが数学だ(私見)．数学とは現実に存在しないものすら考える学問だが，その中で現実に即したものが物理だ(私見)．

数学とは論理さえ通っていれば何でも良いが，現実と何ら繋がりがなくて良い．と言うか現実という具体性が残るならまだ抽象化の余地が残っている．逆に物理は現実に即している必要がある．どれほど論理が正しくとも，現実を説明できなければなんの意味もないのだ．そのためなら数学的に許されない論理の飛躍が許されたりする．

ともあれ真面目に考えた結果，回転と掛け算が結びついた．"回転とは掛け算である"と言われても"はぁ？"と言う感じだろうが，群を通じて回転とは掛け算になっているのだ．

n次元回転はSO(n)で表せるなら，三次元回転はSO(3)で表せる．三次元回転で回るものは三次元ベクトルだ．二次元回転と三次元回転が決定的に異なる点は，回転軸の個数だ．二次元回転は回転軸が一つしかない．だから回転する角度の1パラメタで変換が表せる．他方三次元回転は回転軸が三つある．だから回転する角度もパラメタは3パラメタ必要なのだ．

そして決定的に異なるのが，変換の順番が入れ替えられないということだ．掛け算は抽象化のプロセスで，その順番が入れ替えられなくなってしまった．

例えば縦横奥行きの三つの回転軸があったとして，縦を回転軸に90度回して，横を回転軸に90度回したものと，横を回転軸に90度回して，縦を回転軸に90度回したものは異なるのだ．

青を縦->横と横->縦と回転させたものだが，どうだろうか．どちらも長さが変わらず回転ではあるが，明らかに別の状態だろう．

二次元では一つの回転角しかなかったので，変換の順番(回す角度の順番)を入れ替えても結果は変わらなかっただ，三次元は三つの回転角があり，変換の順番(回す順番)は入れ替えられないのだ．

群はこれもうまく反映している．