３でわれる数の見つけ方（さらに４・６・８・９でわれる数の見つけ方）

２１００という数字を思いうかべてください。
この２１００という数字、２でわりきれます。３でもわりきれます。４でもわりきれます。５でも６でもわりきれます。８ではわりきれません。９でもわりきれません。以上のことは、計算しないでも見ただけでわかります。

なぜわかるのでしょうか？

★２でわりきれる数（偶数）

どんなに大きな数でも、１の位が０、２、４、６、８であれば（つまり１の位が偶数であれば）その数は２でわりきれます。

２１００も当然２でわりきれます。

★３でわりきれる数

実際に３でわる計算をしなくても、ある数の各位の数字をたしてその和が３でわりきれたらその数は３でわりきれます。

例えば、７２６は、各位の数字、７と２と６をたすとその和は１５です。１５が３でわりきれるので、もとの数字７２６も３でわりきれます。

２１００も、２＋１＋０＋０＝３となり３でわりきれるので、２１００は３でわりきれます。

なぜか：
７２６
＝７００＋２０＋６
＝７×１００＋２×１０＋６
＝７×（９９＋１）＋２×（９＋１）＋６
＝７×９９＋７＋２×９＋２＋６
＝７×９９＋２×９＋７＋２＋６

７×９９＝７×３３×３なので、７×９９は３でわりきれます。
２×９＝２×３×３なので、２×９も３でわりきれます。

７×９９と２×９が３でわりきれ、残りの７＋２＋６＝１５が３でわりきれるので、全体の７２６も３でわりきれるということができます。

（中学生向け）式による説明：
１例として、３けたの数を１００a＋１０ｂ＋ｃとして、各位の数の和a＋ｂ＋ｃが３の倍数であれば１００a＋１０ｂ＋ｃも３の倍数である、３でわりきれることを証明してみます。

３けたの数を１００a＋１０ｂ＋ｃとする
１００a＋１０ｂ＋ｃ
＝９９a＋a＋９ｂ＋ｂ＋ｃ
＝９９a＋９ｂ＋a＋ｂ＋ｃ
a＋ｂ＋ｃが３の倍数のときだから、a＋ｂ＋ｃ＝３ｎとする
９９a＋９ｂ＋a＋ｂ＋ｃ
＝９９a＋９ｂ＋３ｎ
＝３（３３a＋３ｂ＋ｎ）
（３３a＋３ｂ＋ｎ）は整数なので、３（３３a＋３ｂ＋ｎ）は３の倍数である
よって、各位の数の和が３の倍数であるとき、その３けたの数は３でわりきれる

例として３けたの数を取り上げましたが、何けたであろうと同じ要領で説明できます。

★４でわりきれる数

ある数の下２けた（１０の位の数と１の位の数）が４でわりきれたら、その数は４でわりきれます。

例えば３２４、下２けたの２４が４でわりきれるので３２４も４でわりきれます。

２１００は、下２けたの００が４でわりきれるので４の倍数です。

なぜか：
１００は４×２５です。ですから、１００の倍数は必ず４でわることができます。
３２４の場合、３００は３×４×２５で４でわりきれます。
だから、残った２４が４でわりきれたらもとの数の３２４も４でわりきれる、４の倍数だということになります。

★５でわりきれる数

５の倍数は、必ず１の位が０か５です。
したがって、１の位が０か５であれば、その数は５でわりきれます。

２１００は１の位が０なので、５でわりきれます。

★６でわりきれる数

６＝２×３、つまり、６の倍数は２の倍数の性質と３の倍数の性質の両方を兼ね備えています。

だから、６の倍数、６でわりきれる数は、２の倍数の性質である１の位が偶数で、３の倍数の性質である各位の数の和が３の倍数であることの両方の条件をみたしているということになります。

２１００は偶数であり、さらに３でもわりきれますから、６でもわりきれます。

★８でわりきれる数

４でわりきれる数と同じような発想をします。

１０００＝８×１２５です。だから、１０００の倍数は必ず８でわりきれます。
残った下３けた、１００の位と１０の位と１の位の数が８でわりきれたら、その数は８でわりきれるということになります。

２１００の下３けたは１００で、１００は８ではわりきれません。だから、２１００も８ではわりきれません。

★９でわりきれる数

各位の数の和を９でわってみて９でわりきれたら、その数自身も９でわりきれます。
つまり、３の倍数の見つけ方と同じやり方で、わりきれるかどうかを見つけることができます。

例えば、２１０６は２＋１＋０＋６＝９となり９の倍数なので９でわりきれる数です。
１１７や２９７、３１５などが９でわりきれます。
２０１０は２＋０＋１＋０＝３で９ではわりきれないので、９の倍数ではありません。

なぜか：
２９７で考えてみましょう。

２９７
＝２００＋９０＋７
＝２×１００＋９×１０＋７
＝２×（９９＋１）＋９×（９＋１）＋７
＝２×９９＋２＋９×９＋９＋７
＝２×９９＋９×９＋２＋９＋７

２×９９＝２×１１×９なので、２×９９は９でわりきれます。
９×９＝９×１×９なので、９×９も９でわりきれます。

２×９９と９×９が９でわりきれ、残りの２＋９＋７＝１８が９でわりきれるので、全体の２９７も９でわりきれるということができます。

（中学生向け）式による説明：
１例として、３けたの数を１００a＋１０ｂ＋ｃとして、各位の数の和a＋ｂ＋ｃが９の倍数であれば１００a＋１０ｂ＋ｃも９の倍数である、９でわりきれることを証明してみます。

３けたの数を１００a＋１０ｂ＋ｃとする
１００a＋１０ｂ＋ｃ
＝９９a＋a＋９ｂ＋ｂ＋ｃ
＝９９a＋９ｂ＋a＋ｂ＋ｃ
a＋ｂ＋ｃが９の倍数のときだから、a＋ｂ＋ｃ＝９ｎとする
９９a＋９ｂ＋a＋ｂ＋ｃ
＝９９a＋９ｂ＋９ｎ
＝９（１１a＋ｂ＋ｎ）
（１１a＋ｂ＋ｎ）は整数なので、９（１１a＋ｂ＋ｎ）は９の倍数である
よって、各位の数の和が９の倍数であるとき、その３けたの数は９でわりきれる

まとめ

２でわりきれる数・・・１の位が偶数（０・２・４・６・８）
３でわりきれる数・・・各位の数の和が３でわりきれる
４でわりきれる数・・・下２けたが４でわりきれる
５でわりきれる数・・・１の位が０か５
６でわりきれる数・・・１の位が偶数で、さらに各位の数の和が３でわりきれる
８でわりきれる数・・・下３けたが８でわりきれる
９でわりきれる数・・・各位の数の和が９でわりきれる

★計算をするときに活用しよう

小学生を教えていると、時々「先生、わりきれません！」と言う声を聞きます。「計算する前にわかるでしょ。」と言うとキョトンとしています。
計算をする前に、３や４や６や９でわりきれるかどうかを確認しておくと無駄な手間を省くことができます。

また、１００＝４×２５であり、１００は００と０が２個続いていますから、００と０が２個続いたら必ず４でわりきれます。だから、どんな数であろうと、００と０が２個続く小数第２位までには必ず４でわりきれてしまいます。

同様に、１０００は８×１２５だから、どんな数も小数第３位までには８でわりきれます。

逆に、０がいくら続いても３や９の倍数にはなりませんから、３や６や９でわったときに小数点以下でわりきれる数はありません。

時々、小数点以下何けたも何けたも計算して首をひねっている人を見かけますが、わりきれないものをどこまでわってもわりきれるはずがありません。

授業中、私はよく「計算のときこそ頭を使え」といいますが、何でも、知っていて損になることはありません。