三次以降の置換群は巡回群でないことの証明
２，３日前に群について勉強をしだして、昨日、ほぼ丸一日使って、三次以降のすべての置換群が巡回群でないことを示したんですよ。証明ができて、ほくほく気分でお風呂を上がったところで、そもそも巡回群ならそれは可換な群になるはずで、３次以降では置換群は可換でないから、ずっと考えてたことは明らかじゃないか…って気づいて、ものすごく悲しい気分になってました。（ここまで愚痴）
このまま考えたことをなしにするのも悲しいので、対偶を使わない証明の仕方として置いときますね。
n$${\geqq}$$ 3 として、
$${n次の置換群S_n \coloneqq \{ f : \{1, 2, \cdots n\} \rightarrow \{1, 2, \cdots n\} | f は全単射\} }$$
が巡回群でないことを示します。
$${S_n}$$はｎ！個の要素を持ちますから、$${S_n}$$ の任意の元ｆについて、n!よりも真に小さい自然数ｍが存在して、$${f^m = Id_n}$$ となることを示せば十分です。（$${Id_n}$$ は{1, 2, $${\cdots}$$ n} の恒等写像）
これを帰納法で示します。
$${\fbox{1}}$$ n = 3の時
三次の置換は、以下の６つです。
(1 2 3) $${\xrightarrow{1乗}}$$ (1 2 3)
(1 3 2)$${\xrightarrow{2乗}}$$ (1 2 3)
(2 1 3)$${\xrightarrow{2乗}}$$ (1 2 3)
(2 3 1)$${\xrightarrow{3乗}}$$ (1 2 3)
(3 1 2)$${\xrightarrow{3乗}}$$ (1 2 3)
(3 2 1)$${\xrightarrow{2乗}}$$ (1 2 3)
これで、三次のとき、どの置換も６乗する前に単位元となることがわかりました。
$${\fbox{2}}$$ n $${\geqq}$$ 4 で、n-1 まで主張を満たしていると仮定します。この時、任意のｎ次の置換がｎ！までにべき乗で単位元となることを示します。
任意にn次の置換ｆをとります。、
$${Id_n, f, f^2 \cdots f^{n-1}, f^n}$$を考えると、これらはn+1個で、それぞれの１に対応する値としてとりうるのは１からｎのｎ個ですから、これらのうち
$${f^i(1) = f^j(1)}$$をみたすi, j ($${0 \leqq i< j \leqq n}$$)が存在します（ただし$${f^0 = Id_n}$$）
ここで、$${l \coloneqq j - i}$$ とすると、
$${1 \leq l \leq n}$$ で、$${p \coloneqq f^i(1) }$$ として、$${f^l(p) = p}$$が成り立ちます。$${g \coloneqq f^l}$$とすると、gは（n-1）次の置換としてみることができます。
細かくいうと、$${S_n^p \coloneqq \{f \in S_n | f(p) = p\} からS_{n-1} への群同型写像ｔ}$$が存在して、$${g \in S_n^p}$$だから、t(g)が定義でき、これは(n-1)次置換群の要素、ということです。
帰納法の仮定から、$${(t(g))^m = Id_{n-1}}$$となるm < (n-1)! が存在します。t は群同型写像ですから、$${(t(g))^m = t(g^m)}$$が成り立ちます。よって、
$${t(g^m) = Id_{n-1}}$$となって、ｔの単射性と$${t(Id_n) = Id_{n-1}}$$から、
$${f^{l \times m} = g^m = Id_n}$$となります。
$${l \leq n かつ m < (n-1)! より、 l \times m < n!}$$がわかります。
$${\fbox{1}, \fbox{2}}$$から、n ≧３のとき、n次の置換群のそれぞれの要素は、n!回掛け合わされるよりも前に恒等写像になることがわかりました。
$${f^s = Id_n(s < n!)}$$とすると、任意の自然数aに対して、$${q、r \in \mathbb{N}}$$が存在して、a = sq + r かつr < sとなります。これを用いて、
$${f^a = f^{sq+r} = (f^s)^q \circ f^r = Id_n^q \circ f^r = f^r}$$とあらわせるから、fの自然数乗で表せるのは、s通りまでなので、n！個すべてを表すことは不可能だとわかりました。
ということで、３次以降の置換群が巡回群でないことを示すことができましたね…
こんな証明を書いておいて、実は５，６行で証明できることに気づいた時の悲しさ、虚しさでしばらく数学のモチベーションが下がりそうです。
これを読んでかわいそうだなと思ったら、スキ！で僕を元気づけてください。よろしくお願いします。