【シャニマス?】ガチャと数学①

0.どうでも良い前置き

久しぶりに記事を書いてみました。
今までグラブル記事しか書いてなかったのに唐突なシャニマス記事。しかもシャニマスほぼ関係ない。もっと言えば書いてるのは古戦場中だけどそれについてはこれの裏でフルオ回してるから許して。

なんでこんなん急に書こうと思ったかというと、最近担当の限定が来ない&5天井分の石(true鉱脈分を含む)持ってて財布の紐がガバガバってことで、担当ではない子の限定ガチャ回しまくってるんですよ。
実際今の限定灯織引きましたし。サポ甘奈は出ませんでしたが無事110連でお迎えです（自慢）。

そこでふと気になったのが、お目当てが引けるまでガチャを回したらどのくらいのペースで石がなくなっていくのかということです。
流石に毎回天井ってのはありえないけど、毎回今回みたいに100連で引けちゃうほど甘くはないだろうと。

そこで数学を使ってその期待値を求めようと思い、折角なので記事にしました。
計算間違ってたらすみません。

1.条件と問題設定

こっから本題。以下に問題の条件を記します。

ガチャは10連で引き、目当てのものが出たら即撤退する。
10連30回=300連で天井とする。
ピックアップ率を0.5%とおく。

天井、pu率はシャニマスの数字を使ってます。他ゲーに置き換えるなら適宜変更。

即撤退に関して。
例えばグラブルのフェス中ではpu中のもの以外のフェス限も取れるためそのまま天井に行く人が多数派かと思います。
しかしシャニマスでは天井しても取れるのが新登場した限定2種のみなので、欲しいものを確保した時点で撤退する人が多数派かと思います。
グレフェス用に凸るために回すだとか、折角天井付近まで回したなら天井覚悟でもう片方も取りに行くことにしたなどといった例外はありますが今回は考えません。

2.目当てが一つの場合

pかs、どちらか片方のみが欲しい場合。欲しくない方には関係なく、欲しい方が出た瞬間撤退です。

10連ガチャ1回で目当てを引ける確率をpとおくと、

p=1-(1-0.5/100)^10

が成立します。目当て以外の出る確率が (1-0.5/100) で、10連で目当てが出ない確率はその10乗となり、出る確率はその余事象で求められます。

これを使って、10連のn回目で初めて目当てが出る確率を求めていきます。

いきなり10連で目当てを引ける確率P_1はそのままpとなります。

次に10連n回目(2≤n≤29)で初めて目当てを引けた場合。
この場合、n-1回目までは目当てが出ず、n回目で目当てが出た事になるため、

P_n=(1-p)^n-1*p

となります。
因みにn=1の場合もこの式で表すことができますが、0回目ってのが説明ややこしいので分けて書きました。

最後に30回目まで到達してしまった場合。
この場合は天井に達したため、30回目のガチャの結果に関わらずここで撤退が決定します。
そしてその確率P_30は

P_30=(1-p)^29

となります。上の29回目までの式と異なり、30連目のガチャ結果を表す部分がないですね。
因みに、ここまでの確率の総和を取るとしっかり1になっています。

ということで確率を求めたのであとは期待値計算。
期待値は

E=Σn*P_n

で求められます。流石に計算が面倒なのでパパッとexcelで計算。

E=15.9 ということで、160連が期待値のようですね。

3.終わりに

勿論これはただの期待値なので、100連もせずに出る場合もあれば天井させられるパターンもあります。全プレイヤーのガチャ結果を平均すれば大数の法則からこれに近くなる筈ですが、１プレイヤーの結果だけだと全然収束しないと思います。知らんけど。なのでこの数字は上振れ下振れの基準くらいに使ってやってください。

本当はpSSRもsSSRも両方欲しい場合もやろうと思ったのですが長くなりそうなのでまた今度で（エタる予感）。

ここまで読んでいただきありがとうございました。