【測量士資格試験】平均と偏差と分散と標準偏差

測量士の八重樫です。こんにちは。

測量士の資格試験では「誤差伝播の法則」を使う計算問題が出題される。
しかし、これがどういったものかを解説する為には、標準偏差がどういったものかを解説しなくてはならない。

このnoteでは、この標準偏差がどういったものかを解説する。
公式を公式として覚えて使える方は読まなくても大丈夫だ。

平均

平均は、n個の値があった場合、値の合計を値の個数で割った値だ。
値をX1,X2,X3...Xiとした時

平均 = ΣXi / n

だ。

基準点Aから新点Bの距離を4回測って以下の結果を得た。
　　1回目　100.003m
　　2回目　  99.997m
　　3回目　100.005m
　　4回目　  99.999m
基準点Aから新点Bの距離の標準偏差は幾らか。

これの平均は、

　= 100.005 + 99.997 + 100.005 + 99.999 / 4
　= 100.0015

だ。

偏差

偏差は、「得た値と平均値との差」だ。

偏差 = Xi - 平均 ( ΣXi / n )

例題では

　  試行回数　　 結果　　　平均　　　 　偏差
　　1回目　　100.005m　100.0015ｍ　 0.0035m
　　2回目　　  99.997m　100.0015m　-0.0045m
　　3回目　　100.005m　100.0015m　  0.0035m
　　4回目　　  99.999m　100.0015m　-0.0025m

となる。

分散

分散は「分布のひろがりを表す統計量の一つ」で、偏差の2乗の合計を値の個数で割った値だ。

分散 = Σ ( 偏差^2 ) / n

例題では

　 試行回数　　 結果　　　　平均　　　　偏差　 　 　偏差^2
　　1回目　　100.005m　100.0015ｍ　 0.0035m　 0.00001225 
　　2回目　　  99.997m　100.0015m　-0.0045m　 0.00002025
　　3回目　　100.005m　100.0015m　 0.0035m　  0.00001225
　　4回目　　  99.999m　100.0015m　-0.0025m　  0.00000625

なので、分散は

　= 0.00001225 + 0.00002025 + 0.00001225 + 0.00000625 / 4
　= 0.00001275

となる。

標準偏差

標準偏差は分散の正の平方根で、統計値の散らばり具合を表す数値だ。

標準偏差 = √ 分散

なので、例題の標準偏差は

 = √ 0.00001275
 = 0.003570714214
 = 0.004m

となる。

まとめ

これらをまとめると、標準偏差は

「各値と平均の差の2乗の合計を、値の個数 n で割った値の正の平方根」

という事になる。
式は

と、表すが、最初にコレを見ると「難しそう」という印象がどうしても強いので、最後にした。
（Excelの数式エディタで作ってPDF出力してスナップショットするのが面倒なので、最後にひとつで済ませたかった。）

学力の指標として用いられる偏差値は、偏差をS、標準偏差をδとした時

 = 10 * S / δ + 50

と、する事で偏差値の平均が50、標準偏差が10になるよう規格化されている。

そもそもで、自分の偏差値を正しく計算する事ができる時点で学習偏差値が高いと言えよう。