球面上に描かれた三角形の面積を求める公式

地球儀にも、メロンにもきゅうりにも三角形は描かれている。その面積がわかれば中心に刺さる立体角もわかる。
貝殻もようを見ればスジ模様の帯を積分すればよいと教えてくれる。

自然は数学を解いてくれている

数学は自然物が解いてくれた解を数学の言葉に翻訳するような作業だ。

説明図

北極点をN、中心をOとする半径ｒの球がある。経線に平行な弧Ａ，Ｂがあり、この球面上に曲面三角形NABを想定する。この三角形の面積を求める。
貝殻の模様、キノコの帯模様はこれらの面積を積分しなさいといっている。

図４においてΔSは弧ABの長さに微小幅をかければよいだろう。
微小幅は図３から

Δλ/cosθ

であらわせる。これはこの微小幅の帯を法線上の真上から見た幅である。

弧ＡＢの長さは図２から　αλ　　である。
従って微小幅の帯の面積ΔＳは

式①

また　　λ＝ｒsinθ　であるから
dλ/dθ＝ｒcosθ　より　　dλ＝r cosθ dθ　…②

式①で　lim　Δ→０をとれば

式③

よって②より

式④

④を計算して

球面上三角形の面積公式

と、公式が求まる。これは平面の二等辺三角形の面積公式の

拡張版という形をしている。