原始ピタゴラス数
三平方の定理は一般に、直角三角形の3辺の長さの関係である。この有名な定理を証明する方法として、4つの合同な直角三角形を組み合わせて大きさの異なる2つの正方形を構成し、それらの面積の関係を調べる方法がある。
(参照)
ピタゴラス数とは、三平方の定理
$$
\begin{align*}
&x^2+y^2=z^2\\
\end{align*}
$$
を満たす自然数の組$${x,y,z}$$であって、その要素は、$${a＞b＞0}$$なる自然数$${a,b}$$を用いて
$$
\begin{align*}
&x=2ab&\\
&y=a^2-b^2&\\
&z=a^2+b^2&\\
\end{align*}
$$
である。
(参照)
自然数$${a,b}$$は単に$${a＞b＞0}$$であればよく、各々は自由に決めることができるから、ピタゴラス数の自由度は2である。
また、明らかにピタゴラス数は無限に存在する。
ピタゴラス数を3辺の長さとする直角三角形をピタゴラス三角形と呼ぶ。
相似関係にある全てのピタゴラス三角形のうち最も小さな三角形の3辺の長さで構成されるピタゴラス数を原始ピタゴラス数という。
明らかに原始ピタゴラスの数の3つの要素は1以外の公約数を持たないから、原始ピタゴラス数の要素は互いに素である。
ピタゴラス数の性質や法則は、その性質や法則が拡大縮小に対する対称性を有する場合には、原始ピタゴラス数の場合のみ考えれば十分である。
以上