解答例 を作ってみた（２）＿ 京大文系　2001年前期　数学 第4問 ／「ｎを２以上の整数とする。実数 a_1,a_2,・・・（略）に対し、和S=a_1＋a_2・・・」

§１
この解答例は、個人的に作成したものです。
添削を受けたものではないので、誤りや不備などがあるかもしれません。利用はご自身の責任で行ってください。

京大文系　2001年　前期　数学 　第4問　
問題文
　以下のリンクで参照してください。
　ーー
　”　server-test.net/math/php.php?name=kyoto&v1=0&v2=2001&v3=1&v4=4&y=2001&n=0_4　”

§２
考え方
$${a_{1},a_{n} ,S}$$　を数直線上の(複数の)点と捉え、位置関係を考える。

以下、解答。
不等式
$${-1 < S - a_{1} < 1}$$
により、和$${S}$$は　a_{1}を中心として幅２の開区間　$${(-1+a_{1},a_{1}+1)}$$に含まれる。
特に、$${S< a_{1}+1}$$   ・・・（A）
同様に、
$${-1 < S - a_{n} < 1}$$
により、和$${S}$$は　a_{n}を中心として幅２の開区間　$${(-1+a_{n},a_{n}+1)}$$に含まれる。
和$${S}$$ は２つの開区間に含まれなければならないから、２つの開区間は共通部分を持つ、即ち、
$${-1+a_{n}＜a_{1}+1}$$
が成り立つ。（$${-1+a_{n}＞＝a_{1}+1}$$のときは、２つの開区間は共通部分を持たないことに注意。）
上式より、
$${a_{n}-a_{1}＜2 }$$。
つまり
$${a_{n} }$$ と$${ a_{1} }$$ の差は、２未満です。・・・（B)

背理法を使います。
あるｋについて、abs($${a_{k} }$$)＞＝２　とする。
$${a_{k} }$$ の正負で場合分け。

$${a_{k} >０ }$$ の場合。
$${a_{n} >＝２}$$ が成り立つ。
上の（B)より、$${a_{1} >0}$$。
全ての項、$${a_{1},a_{2},・・・, a_{n}}$$は正。
和$${S}$$ について
$${S >= a_{1}＋a_{n} }$$
$${ >=a_{1}＋2  }$$
ですが、（A）でしめしたように、
$${a_{1}+1>S  }$$。 
これは矛盾です。

$${a_{k} <０ }$$ の場合。
同様にして、矛盾です。
よって、
全てのｋについて abs($${a_{k} }$$)＜２。
証明終了。

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