DNAブログ:対面の有利不利を判定するには何戦行えばいいのか。(P.P)
皆さん。こんばんは。DNA主宰のP.Pです。
今回は大学の講座で習った知識を生かして数学的にカードゲームをみていこう。という勉強ついでに記事を書いてみたものです。ちょうどテスト範囲なんでね。それではよろしくお願いいたします。
何戦すれば十分なんだ?
カードゲームでは「どっちのデッキが有利なのか」という論争がよく起こります。大手のTCGやDCGではどこかのサイトなどで統計がガッツリまとめられていますが、マイナーTCG(それこそACG)やメタ外の個人デッキ、サイド調整なども含めるとなかなかそのような大型の統計は見られません。
そこで今回は『実際何回ぐらい対戦すればある程度正確な勝率を得られるのか』ということを数学的に考えていこうと思います。
求め方について。
今回の検証の求め方ですが、大学の一講座でしか学んでいない付け焼刃の統計学を用いて考えていきます。本来は無限に対戦して勝率を出せればいいんですが、そんなことはできないので、統計学にある統計的推定の内の区間推定を用います。
ざっくりいうと「何戦かして求めた勝率」P*(1~0)から、「本当の勝率」P(1~0)が大体〇<P<〇ですね。というものを推定する方法です。
というわけでそれを求める計算式がこちらです。
なんだこれって感じですね。私もいまそうです。
とりあえず、nは試行回数です。5回対戦したら5。10回対戦したら10です。Zは、正規分布表から導かれる定数です。正規分布は「ランダムなものが分布するときの分布の仕方の代表例」だと思ってもらえれば大丈夫です。まぁ、πとかeとかの認識でいいと思います。気になった人は大学の講座を受けるか本か何かを買って勉強してみよう!()Zの値によって、推定した結果の正確差が変わります。
今回は50%,80%,90%,95%,99%,99.9%(Z=0.6745,1.2816 , 1.6449 , 1.9600 , 2.5760 , 3.2905)の信用性が得られるZの値を用いて検証していきます。
(補足:この%は求めた範囲の中にPが〇%で当てはまるというものです。)
やってみる。
では計算してみましょう。今回は例にはなりますが「Aデッキ」vs「Bデッキ」の対戦結果を用いてみます。求めるものはAの勝率です。まずは10回対戦してAが5回勝ったとします。P*=5/10=0.5,n=10です。実際に当てはめて計算してみると以下のようになります。
うーん。思っていたよりも精度が酷い。10回程度の試行では、統計では1ミリもわからないという事がわかります。信頼度99.9%に関してはもはや何をしてるのか分かりません。()
次は勝率0~100%の10刻み回数10,25,50,100,200,500,1000,10000で試してみましょう。
というわけで試してみました。これでわかることは、
10回程度で有利不利を明確に付けるためには70%の比率が必要であること。
本格的にはっきりさせるには100回程の試行は最低限必要であること。
くらいですかね。現実的には10回程度の試行しかできないでしょうので、10回中7回勝てれば明確に有利という認識ぐらいがよさそうです。
20回くらいが我々の限界です。
というわけで、我々では20回くらいが有利不利解明に使える試行回数の限界な気がするので、20回で0~20勝のデータを作ってみました。
で、これをまとめると
分かりやすくなりましたね。勝利数を書いています。とりあえず、20戦の勝敗を表に当てはめれば大体の有利不利が分かるようになると思います。皆さんも何かを検証するときはこちらの表を目安にしてみてください。
終わりに
というわけで、今回は統計を用いて勝率検証の実験を行ってみました。勉強になるし、実用的で面白いですが、資料作成にかなり時間がかかってしまうので、かなり希望がない限りこのような技術を用いた数学的なお話はあんまりしたくないです。()次回するならば、悪い引きは本当に引きだけのせいなのか?というお話をしたいと思います。
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DNA主宰。テスト勉強をしようとしたかったけど無理でした。()