数学的折り紙って何？
折り紙は、日本の伝統的な芸術として広く知られていますが、現代の数学的研究では、折り紙の幾何学的特性が重要な研究対象となっています。
折り紙の数学（特に幾何学）は、コンピュータサイエンス、設計工学、生物学など、多くの分野で応用されています。
①折り紙と数学のつながり
折り紙の数学的研究は、「折りたたむ」という操作がもたらす形状の変化や、展開された状態の形状（展開図）に焦点を当てています。
これらの操作を数学的にモデル化することで、次のような課題が研究されています。
・折りたたみ可能な形状（可折性）の条件
・折り紙の展開図を解析する方法
・3D形状を平面に折りたたむ効率的なアルゴリズム
折り紙で数学 (シリーズ・手づくり選択数学 5) ↓
②折り紙の基本幾何学
2.1 折り線（Creases）と折り線パターン（Crease Patterns）
折り紙では、紙を折る際に生じる「折り線」が重要な要素です。
折り線の集合を「折り線パターン」と呼びます。
折り紙幾何学の研究は、この折り線パターンを数学的に表現し、解析することから始まります。
・折り線の種類
山折り（Mountain Fold）
折った後に線が山のように突き出る部分
谷折り（Valley Fold）
折った後に線が谷のように凹む部分
2.2 折り紙の公理
折り紙幾何学の基盤は「折り紙の公理（Origami Axioms）」と呼ばれる数学的ルールに基づいています。
これらは、紙の上で折り線を引く方法を定義します。
代表的な公理は次の7つです。
❶2点を結ぶ折り線を作る。
❷1つの点を他の点に重ねる折り線を作る。
❸1つの線を他の線に重ねる折り線を作る。
❹点を線に一致させる折り線を作る。
❺2つの点を、それぞれ2つの線に一致させる折り線を作る。
❻2つの線の交点を作る折り線を作る。
❼特定の条件下で点や線を一致させる折り線を作る。
幾何的な折りアルゴリズム: リンケージ、折り紙、多面体 ↓
2.3 折り紙の角度と対称性
・折り線が交わる角度は、「折りの制約条件」に従います。
特に、複数の折り線が一点に集まる場合、その角度の合計は 360^\circ を超えることはありません。
・多くの折り紙作品では、紙面の対称性が利用されており、これが幾何学的美しさと折りやすさを生み出します。
3. 折り紙幾何の応用
3.1 実世界での応用例
工学
折り紙の幾何学は、宇宙工学で使われる「展開型構造物」（例: 太陽電池パネル）や、防災用の折りたたみ可能な建築構造の設計に応用されています。
生物学
細胞の形状やタンパク質の折りたたみパターンの解析にも応用されています。
3.2 コンピュータサイエンス
折り紙幾何のアルゴリズムは、計算機科学でも注目されています。
特に、「折りたたみ可能性を判定するアルゴリズム」や「展開図から3D形状を再構築するアルゴリズム」は、ロボティクスや3Dプリントに応用されています。
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4. 数学的折り紙の具体的な問題と解法
4.1 平面充填問題
折り紙を折りたたむ際、紙を重ねずに平面に収める条件を「平面充填問題」と呼びます。
これを解決するためには、「折り
4.2 リジッド折りたたみ問題
紙を「剛体」と仮定して折る問題では、紙の変形を伴わない折りたたみ可能な形状を探します。この問題は、工学や建築設計で重要です。
5. 折り紙幾何の基礎から進化へ
折り紙の数学は、平面上の単純な折り線から始まりましたが、今では次のような分野にも広がっています。
曲面の折り紙
曲がった紙や複雑な曲面を折る方法の研究
4次元折り紙
高次元の空間における折り畳みの理論
（理論物理学との関連）
6. 折り紙幾何を学ぶためのポイント
❶折り紙公理の理解
基本的な7つの公理をマスターすることが重要です。
これが折り紙幾何の土台となります。
❷折り線パターンの解析
実際に折り紙を折りながら、折り線パターンがどのように形状を生み出すか観察します。
❸ソフトウェアの活用
折り紙幾何を扱う専用のソフトウェア（例: ORIPA）を利用して、折り線パターンのシミュレーションを試してみましょう。
❹実際に折る経験
理論だけでなく、実際に折り紙を折ることで直感的な理解が深まります。
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まとめ
折り紙幾何は、数学的な理論と実際の芸術の交差点に位置する興味深い分野です。
この分野を学ぶことで、数学の新たな視点を得るとともに、その応用範囲の広さに驚かされることでしょう。