書記が数学やるだけ#649 リマソンに関する入試問題

入試数学ネタとして，極座標で表された曲線の例であるリマソンを扱う。

問題

極座標に慣れていれば簡単な計算問題。この図形はパスカルの蝸牛形とも呼ばれる。

解答

それぞれのグラフを示す，ここで線が交差しているかどうかで解法が変わってくる。

極座標へと変換するといくつか候補が出てくるが，符号の入れ替えにより1つの式で表せるようになる。概形については，r=cosθを基準に考えるとわかりやすい。

このaの値では線が交差することから，半回転で極値を取らない。最大値・最小値を計算するのは容易。

次に回転体の問題。この曲線は交差せず半回転までで単調減少のため，単に半回転までを考えればよい。デカルト座標に変換すれば，後は回転体の公式に当てはめるだけ。

重積分やヤコビアンの知識が必要であるが，極座標のまま体積を求めることもできる。原理的にはこちらも理解できていた方が良い。

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