書記が数学やるだけ#324 弧状連結
連結よりも強い条件である弧状連結について。
問題
説明
凸であることがありがたいケースも多い。
弧状連結とは,ざっくり言うと任意の2点が道によって結べることをいう。
解答
線分は連結である。これは射影との合成写像の連続性により示す。
それがわかると,ユークリッド空間が連結であることがすぐにわかる。
弧状連結であることの証明の例。
連結だが弧状連結でないものの例として,位相幾何学者の正弦曲線を取り上げる。
まず連結であること。
弧状連結でないこと。2通りの数列を取ってきて収束が一致しないことから矛盾を示す。
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