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書記が数学やるだけ#324 弧状連結

連結よりも強い条件である弧状連結について。


問題

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説明

であることがありがたいケースも多い。

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弧状連結とは,ざっくり言うと任意の2点が道によって結べることをいう。

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解答

線分は連結である。これは射影との合成写像の連続性により示す。

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それがわかると,ユークリッド空間が連結であることがすぐにわかる。

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弧状連結であることの証明の例。

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連結だが弧状連結でないものの例として,位相幾何学者の正弦曲線を取り上げる。

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まず連結であること。

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弧状連結でないこと。2通りの数列を取ってきて収束が一致しないことから矛盾を示す。

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