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書記が数学やるだけ#239 凸関数,相加相乗平均
今回は凸関数について考える。
問題
説明
定義の式は,グラフに書いてみるとわかりやすい。
一階導関数が0になるところを極値という。高次関数では,極大でも極小でもない停留点が現れる場合がある。
解答
→を示すには,2階微分の式に持っていけるような式変形を施す。
←を示すにはTaylorの公式を使う。
(2)の式は,Jensenの不等式に関連したものである。これに-logxを代入することで,n変数の相加相乗平均の関係が容易に示せる。
実際の入試問題での例。2021早大では3変数の相加相乗平均の関係(あるいは3変数のCauchy–Schwarzの不等式)を知っていないと厳しい問題が出題された。
とはいえ,過去にはn変数の相加相乗平均の証明問題を出題しているところもあるので,証明を知った上で自在に使いこなせるようになっておきたい。
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