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書記が数学やるだけ#378 n重積分の計算
応用上では,ガンマ関数やベータ関数が重要である。
問題
![スクリーンショット 2022-05-24 21.11.25](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/79231576/picture_pc_2983f4aa2a07ce07f674002856e7b105.png?width=1200)
説明
陰関数定理について,同様のことがn変数でもいえる。
![スクリーンショット 2022-05-24 21.12.27](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/79231632/picture_pc_6ff9f182519775a94d3e4a92387fe0e0.png?width=1200)
2重積分からn重積分への拡張。
![スクリーンショット 2022-05-24 21.13.00](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/79231676/picture_pc_9231f22a8a85fd9db966bdeb2817a4cb.png?width=1200)
![スクリーンショット 2022-05-24 21.13.26](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/79231711/picture_pc_142a47e5b645fa89582eba8bc9ec3750.png?width=1200)
![スクリーンショット 2022-05-24 21.13.39](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/79231732/picture_pc_ba9b001175a92b024e72fd1f02460eab.png?width=1200)
解答
回転により面積は不変であるのと同様。
![](https://assets.st-note.com/img/1653481062534-gmPkicpuxK.jpg?width=1200)
この積分は変換にクセがある。
![](https://assets.st-note.com/img/1653481173288-LVx3aGdDME.jpg)
変換した後にベータ関数が出てくるようにすると,上手い具合に整理される。
![](https://assets.st-note.com/img/1653481208760-EV2unU5mcC.jpg?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1653481243222-gv4Ojrv0QD.jpg)
このことを用いて,超球の体積を求めることができる。
![](https://assets.st-note.com/img/1653481264353-8KsNkcnly7.jpg)
ガンマ関数について補足。
![](https://assets.st-note.com/img/1653481328433-lSgVijvGvQ.jpg)
本記事のもくじはこちら:
応用上では,ガンマ関数やベータ関数が重要である。
陰関数定理について,同様のことがn変数でもいえる。
2重積分からn重積分への拡張。
回転により面積は不変であるのと同様。
この積分は変換にクセがある。
変換した後にベータ関数が出てくるようにすると,上手い具合に整理される。
このことを用いて,超球の体積を求めることができる。
ガンマ関数について補足。
本記事のもくじはこちら: