書記が数学やるだけ#828 3次対称群・4次交代群・4次対称群の指標表

指標表の具体例として，3次対称群・4次交代群（四面体群と同型）・4次対称群（六面体群と同型）について見ていく。十二面体群と同型な5次交代群については別に扱う。

問題

解答

以前に示したように，3次対称群は1次元自明表現・1次元符号表現・2次元スタンダード表現からなる。スタンダード表現の指標はトレースから計算できる。

4次対称群は4つの共役類を持ち，四元群との剰余群から2つの1次元指標が導出できる。

もう一つの既約表現は，位数3で以下の変換行列で表される。

4次対称群の共役類は5つあり，2つの明らかな1次元表現のほかに2次元表現1つと3次元表現2つからなる。3次元表現は，スタンダード表現とそのテンソル積表現の2種類がある。

2次元表現について，具体的な構成を示すほか，指標の直交性からも表を作ることができる。

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