書記の読書記録#442『曲がった空間の幾何学 現代の科学を支える非ユークリッド幾何とは』

宮岡 礼子『曲がった空間の幾何学 現代の科学を支える非ユークリッド幾何とは』のレビュー

曲がった空間の幾何学 現代の科学を支える非ユークリッド幾何とは (ブルーバックス)

レビュー

こちらは現代的な事項について簡潔にまとめた本。微分幾何学の概要を捉えるために通読するのがよい。

もくじ

第１章　はじめに

　1-1　曲がっていない空間
　1-2　ユークリッド距離とは？
　1-3　ベクトルと線形空間
　1-4　長さと角度
　1-5　曲線の長さ
　1-6　線分と円弧の長さ

第２章　近道

　2-1　近道を探そう
　2-2　曲線の曲がり方
　2-3　近道は測地線
　2-4　近道は１つとは限らない

第３章　非ユークリッド幾何学からさまざまな幾何学へ

　3-1　球面と双曲平面
　3-2　非ユークリッド幾何学　
　3-3　三角形の内角の和
　3-4　リーマン幾何学　
　3-5　ミンコフスキー幾何学

第４章　曲面の位相

　4-1　連続変形
　4-2　単体分割とオイラー数　
　4-3　曲面の三角形分割
　4-4　曲面の位相的分類と連結和　
　4-5　オイラー数と種数Ⅰ

第５章　うらおもてのない曲面

　5-1　うらおもてのない曲面
　5-2　うらおもてのない閉曲面の分類　
　5-3　オイラー数と種数Ⅱ

第６章　曲がった空間を考える

　6-1　そもそも曲面とは？
　6-2　曲面から多様体　
　6-3　曲面の曲がり方の導入　
　6-4　オイラーの考えたガウス曲率　　
　6-5　平坦な曲面と負の定曲率曲面

第７章　曲面の曲がり方

　7-1　曲面の計量と第１基本形式
　7-2　第２基本形式　
　7-3　ガウス曲率と平均曲率
　7-4　ガウスの驚愕定理　
　7-5　等温座標によるガウス曲率　
　7-6　ガウス曲率とガウス写像

第８章　知っておくと便利なこと

　8-1　立体射影（球面の場合）
　8-2　立体射影とケーリー変換（双曲面の場合）　
　8-3　球面上の距離はどう測るのか―フビニスタディ計量
　8-4　三角関数と双曲線関数　
　8-5　双曲面上の距離はどう測るか―ポアンカレ計量

第９章　ガウス―ボンネの定理

　9-1　外積と面積要素
　9-2　線積分と面積分　
　9-3　ガウス―ボンネの定理と三角形の内角の和
　9-4　近道が１つしかない空間　
　9-5　閉曲面に対するガウス―ボンネの定理
　9-6　曲率と位相

第10章　物理から学ぶこと

　10-1　勾配ベクトル場と発散定理
　10-2　ストークスの定理Ⅰ　
　10-3　調和関数
　10-4　最大値関数

第11章　三角形に対するガウス―ボンネの定理の証明

　11-1　簡単な微分形式
　11-2　外微分　
　11-3　ストークスの定理Ⅱ
　11-4　ストークスの定理の応用
　11-5　三角形に対するガウス―ボンネの定理の証明

第12章　石鹸膜とシャボン玉

　12-1　石鹸膜の幾何学
　12-2　シャボン玉の幾何学　
　12-3　石鹸膜とシャボン玉
　12-4　勾配流、平均曲率流

第13章　行列ってなに？

　13-1　線形性とは？
　13-2　行列　　
　13-3　固有値
　13-4　実対称行列の固有値の位置
　13-5　実対称行列の固有ベクトルの直交性

第14章　行列の作る曲がった空間

　14-1　行列の作る群の形
　14-2　リー群　
　14-3　SU(2) と SO(3) の表す図形
　14-4　群作用と対称性　
　14-5　被覆空間　
　14-6　どこから見ても同じ空間

第15章　３次元空間の分離

　15-1　ポアンカレ予想
　15-2　幾何学化予想

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