書記が数学やるだけ#192 ε-N論法による極限の定義

今回から，ε-δ論法について攻略していくこととする。

参考書，記法はこちらに準ずる：

イプシロン・デルタ論法 完全攻略

まずはε-N論法による数列の極限について。

問題

説明

定義は覚える他ない，実際には繰り返し問題を解いていくうちになれると思う。

全称記号と存在記号，記号論理の初歩については既知とする，参考：

併せて，有界の定義について。

問題によっては，部分列を考えることがある。

解答

英文でいう「such that」が「：」で訳されることがあるが，実際には「任意のn」であることを省略した表現である。文字数を減らす分には確かに便利であるが，特に否定命題を書く上では省略を補う必要がある。

では，以下で典型的なパターンについて示していく。結局のところ，最後が「<ε」で締めくくれるようなN(ε)を見つける作業に帰着する。これはε-δでも同様である。

三角不等式は，証明に頻出である。

参考：

いくつかある解法のうち，有界を用いることにする。

本記事のもくじはこちら：