書記が数学やるだけ#323 中間値の定理の例題

大学入試問題にて，例えば解の存在を示すのに中間値の定理が有効なケースがある。

問題

①は不動点を求める問題。②では3次方程式の解の個数を考える。

解答

グラフさえわかれば解を持つことはすぐにわかる。

(2)で何をやるかと言うと，関数を繰り返し適用して図のように不動点に近づくようにしている。このような考え方は力学系においてよく出てくる。

漸化式の形から，平均値の定理を適用する。

方程式の解の個数について，奇数次であれば実数解を少なくとも一つもつことが中間値の定理より証明できる。

参考：

今回はまずaの値で場合分けをする，と言うのも非正の場合は解が一つであることが確定する。aが正の場合は，実数解が1~3つ持つことになる。

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