書記が数学やるだけ#245 定積分の性質，微分積分法の基本公式

これが成り立つことで，多くの積分が計算できるようになる。

問題

やはり挑戦枠は大学数学を先取りした内容となっている。

説明

以下の性質は，前回の定義からも証明することができる。

積分にも平均値の定理がある。

微分積分法の基本公式は，それまで何の関係もないように思われた，微分と積分をつなぐ重要な定理である。

解答

積分の基本性質のうち，絶対値のついた不等式についてここで証明しておく。

平均値の定理の積分バージョンについて。

最大値・最小値の定理，中間値の定理により目当ての式が得られる。

原始関数の微分が元の関数であることの証明，これにより積分と微分が対応づけられる。

微分の形に持っていく時に，平均値の定理よりその存在を示す。

積分定数がどこから出てくるかの議論。当たり前に思えることだが，平均値の定理により存在を確実に示すのが重要（おそらく入試でも問われていたポイントだろう）。

定積分を定義から求めるのは大抵難しいのだが，微分積分法の基本公式により微分の逆を計算すればいいことがわかった。

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